Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 3\). Hỏi phương trình \({x^2} - 4x = f'\left( 3 \right)\) có tổng bình phương các nghiệm là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Hàm số có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\). Suy ra \(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}\).

c) Có \(y = f\left( {{x^2} + 1} \right) = \sqrt {{x^2} + 1} \).

Suy ra \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

d) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có hệ số góc bằng \(f\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta tính được \(s'\left( t \right) = 2t\).

Vận tốc của chất điểm \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t \Rightarrow v\left( 2 \right) = 2.2 = 4{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).