Cho biểu thức \(K = \sqrt {{x^2} + 10x + 25} + 20\). Khi đó:

Đáp án: 7

Điều kiện: \(x \ge 3\).

Ta có: \({\rm{E}} = 12 - \sqrt {x - 3 - 2\sqrt {x - 3} + 1 + 25} = 12 - \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 3} - 1} \right)}^2} + 25} .\)

Vì \( - \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 3} - 1} \right)}^2} + 25} \le - \sqrt {25} = - 5\) với mọi \(x \ge 3\) nên \(12 - \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 3} - 1} \right)}^2} + 25} \le 7\) với mọi \(x \ge 3\). Do đó, giá trị lớn nhất của \(E\) bằng 7.

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt {x - 3} - 1 = 0\), suy ra \(x = 4\) (thỏa mãn).

Đáp án: 4

Điều kiện:\(x \ge - \frac{1}{4}\).

Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 4} = \sqrt {4x + 1} \)

       \({\left( {\sqrt {{x^2} + 4} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {4x + 1} } \right)^2}\)

               \({x^2} + 4 = 4x + 1\)

               \({x^2} - 4x + 3 = 0\)

            \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)

Do đó \(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 3\) (thỏa mãn).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 4.