Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\) với \(x > 0\). Tính giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
3
Đáp án: 3
Với \(x > 0\), ta có:
\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)
\( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\) \[\]
\( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}\).
Với \(x > 0\), \(P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \)
Vì \(x > 0\), áp đụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.\sqrt x } \) hay \(1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 1 + 2\) hay \(A \ge 3\).
Vậy GTNN của \(A = 3\) khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = \sqrt x \) hay \(x = 1\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Rút gọn \(B = \frac{{x - 25}}{{x - 9}}\).
Đúng
Sai
b) Biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}.\)
Đúng
Sai
c) Có duy nhất một giá trị nguyên của \(x = 25\) thỏa mãn \(P\) nguyên.
Đúng
Sai
d) Gía trị của \(P = 0\) khi \(x = 25\).
Đúng
Sai
Lời giải
a) Đúng.
Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\), ta có:
\(B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
\( = \frac{{4\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{4\sqrt x - 12 + 2x - \sqrt x - 13 - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x - 25}}{{x - 9}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\).
b) Đúng.
Ta có: \(P = \frac{B}{A} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}\).
c) Sai.
Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{8}{{\sqrt x + 3}}\).
Để \(P\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{8}{{\sqrt x + 3}}\) nhận giá trị nguyên.
Suy ra \(\sqrt x + 3\) là Ư(8).
Nhận thấy \(\sqrt x + 3 \ge 3\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\).
Do đó, \(\sqrt x + 3 \in {\rm{\{ }}4;\,\,8\} \)
Với \(\sqrt x + 3 = 4\) thì \(x = 1\) (thỏa mãn).
Với \(\sqrt x + 3 = 8\) thì \(x = 25\) (thỏa mãn).
Do đó, có hai giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nguyên.
d) Đúng.
Thay \(x = 25\) (thỏa mãn) vào \(P\) được \(P = \frac{{\sqrt {25} - 5}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{5 - 5}}{{5 + 3}} = \frac{0}{8} = 0\).
Câu 2
A. \( - \frac{{2\sqrt x }}{{4 - x}}\).
B. \( - \frac{{2\sqrt x }}{{4 - {x^2}}}\).
C. \( - \frac{{2\sqrt x }}{{2 - x}}\).
D. \( - \frac{{2\sqrt x }}{{4 + x}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 4\).
Ta có \(\frac{1}{{2 + \sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}\)
\( = \frac{{2 - \sqrt x - \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)
\( = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}\)\( = - \frac{{2\sqrt x }}{{4 - {x^2}}}\).
Câu 3
A. \(100\sqrt {\sqrt 3 - 1} \).
B. \(10\sqrt {2\sqrt 3 - 1} \).
C. \(100\sqrt {\sqrt 3 + 1} \).
D. \(10\sqrt {2\sqrt 3 + 1} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) Diện tích hình chữ nhật là \({S_1} = 6\sqrt 6 \).
Đúng
Sai
b) Diện tích hình thang là \({S_2} = \frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2}\).
Đúng
Sai
c) Phương trình biểu diễn diện tích hai hình bằng nhau là: \(\frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2} = 6\sqrt 6 \).
Đúng
Sai
d) Chiều cao của hình thang là \(h = 12 + 6\sqrt 2 \).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. Nếu \(a\) là một số dương và \(b\) là một số không âm thì \(\sqrt {{a^2}b} = a\sqrt b \).
B. Nếu \(a\) và \(b\) là hai số không âm thì \(\sqrt {{a^2}b} = a\sqrt b \).
C. Nếu hai số \(a,b\) không âm thì \(a\sqrt b = - \sqrt {{a^2}b} \).
D. Với các biểu thức \(A,B\) và \(B > 0\), ta có: \(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Cho biểu thức \(C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}\). Khi đó
Cho biểu thức \(C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}\). Khi đó
a) Điều kiện xác định của \(C\) là \(a > 0,\,\,a \ne 16\).
Đúng
Sai
b) Rút gọn biểu thức được \(C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}\).
Đúng
Sai
c) Biểu thức \(C\) luôn nhận giá trị nhỏ hơn 1 với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
Đúng
Sai
d) Giá trị của \(C = 9 - 4\sqrt 5 \) tại \(a = 9 - 4\sqrt 5 .\)
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập