Cho hàm số \(y = f(x) = {\log _2}(1 + {2^x})\). Tính giá trị \(S = f'(0) + f'(1)\)

Đáp án: \(1167\).

Xét miền phẳng \(\left( D \right)\) giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) như hình vẽ với \(BE = BG,SH = 2HE\)

Từ đồ thị ta có \(a < 0,b > 0,c > 0\).

Đặt \(BE = BG = d\left( {d > 0} \right) \Rightarrow E\left( {d;0} \right),G\left( {0;d} \right)\)

\(\left( P \right)\) đi qua \(G,E\) Þ \(\left\{ \begin{array}{l}c = d\\a.{d^2} + b.d + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = d\\a.{d^2} + b.d + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = d}&{\left( 1 \right)}\\{a.d + b + 1 = 0}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có \(H\left( { - \frac{b}{{2a}};0} \right) \Rightarrow HE = d + \frac{b}{{2a}} \Rightarrow SH = 2HE = 2d + \frac{b}{a}\)

Lại có \(SH =  - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} =  - \frac{{{b^2} - 4ad}}{{4a}} =  - \frac{{{b^2}}}{{4a}} + d\)

Þ \( - \frac{{{b^2}}}{{4a}} + d = 2d + \frac{b}{a} \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} + 4b + 4ad = 0}&{\left( 3 \right)}\end{array}\)

Từ (2) Þ \(ad + b =  - 1\), thế vào (3), ta được \({b^2} - 4 = 0 \Rightarrow b = 2\) (vì \(b > 0\))

Þ \(a = \frac{{ - b - 1}}{d} =  - \frac{3}{d}\)

Þ \(\left( P \right):y =  - \frac{3}{d}{x^2} + 2x + d\)

Diện tích miền \(\left( D \right)\) là \(S\left( D \right) = \int\limits_0^d {\left( { - \frac{3}{d}{x^2} + 2x + d} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{d} + {x^2} + dx} \right)} \right|_0^d = {d^2}\)

Dựng trục \(Ox\) như hình vẽ

Đặt \(CB = OB = x\left( {0 \le x \le 20} \right)\)

Xét hình thang \(ACDF\).

Gọi \(I = AC \cap FD\)

Vì \(AF = 2CD\) Þ \(C\) là trung điểm của \(IA\)

Ta có \(\frac{{BE}}{{AF}} = \frac{{IB}}{{IA}} \Rightarrow BE = \frac{{AF.IB}}{{IA}} = \frac{{10.\left( {20 + x} \right)}}{{40}} = \frac{{20 + x}}{4}\)

Áp dụng kết quả trên với \(d = BE = \frac{{20 + x}}{4}\), ta có diện tích thiết diện \[BESG\] là

\[S\left( x \right) = B{E^2} = {\left( {\frac{{20 + x}}{4}} \right)^2}\].

Thể tích đường hầm là \(V = \int\limits_0^{20} {{{\left( {\frac{{20 + x}}{4}} \right)}^2}dx}  = \frac{{3500}}{3} \approx 1167\left( {{m^3}} \right)\)

Cách khác:

Ta có \(\frac{{BE}}{{AF}} = \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{20 + x}}{{40}}\) Þ \(\frac{{{S_{BESG}}}}{{{S_{AFKM}}}} = {\left( {\frac{{20 + x}}{{40}}} \right)^2}\)

Giải tương tương tự cách trên với \(d = AF = 10\), ta có \({S_{AFKM}} = {10^2} = 100\)

Þ \({S_{BESG}} = 100.{\left( {\frac{{20 + x}}{{40}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{20 + x}}{4}} \right)^2}\).

Thể tích đường hầm là \(V = \int\limits_0^{20} {{{\left( {\frac{{20 + x}}{4}} \right)}^2}dx}  = \frac{{3500}}{3} \approx 1167\left( {{m^3}} \right)\).

a) Đúng.

Bán kính đáy bằng \(40\,m\) nên diện tích phần đáy dưới là \(S = \pi {.40^2} = 1600\pi  \approx 5027\,\left( {{m^2}} \right)\).

b) Sai.

Vì đoạn giao nhau giữa \(Ox\) là tháp bằng 30 mét, \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm giao nhau đấy nên tọa độ các điểm thuộc hypebol là \(\left( { - 15;0} \right),\,\,\left( {15;0} \right)\).

c) Sai.

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Hypebol đi qua điểm \(\left( {15;0} \right)\) nên \(a = 15\). Khi đó \(\frac{{{x^2}}}{{{{15}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Vì đáy dưới có bán kính bằng \(40\,m\), gốc \(O\) cách mặt đất \(80\,m\) nên hypebol đi qua điểm \(A\left( {40; - 80} \right)\). Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình chính tắc trên ta có:

\(\frac{{{{40}^2}}}{{225}} - \frac{{{{\left( { - 80} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{11520}}{{11}}\).

Vậy \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{225}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{11520}}{{11}}}} = 1\).

d) Đúng.

Ta có độ dài từ \(O\) đến nóc tháp là \(40\,m\).

Ta có \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{225}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{11520}}{{11}}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{225}} = 1 + \frac{{11{y^2}}}{{11520}} \Rightarrow {x^2} = 225\left( {1 + \frac{{11{y^2}}}{{11520}}} \right)\).

Xét \(x = f\left( y \right)\).

Thể tích của tháp là thể tích khối tròn xoay (quay quanh trục \(Oy\)): \(V = \pi \int\limits_{ - 80}^{40} {{f^2}\left( y \right)} dy = \pi \int\limits_{ - 80}^{40} {225\left( {1 + \frac{{11{y^2}}}{{11520}}} \right)dy}  = 68250\pi  \approx 214414\,\left( {{m^3}} \right)\).