Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh bằng \[2\]. Biết rằng \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] và \[SA = \sqrt 6 \] (tham khảo hình vẽ). Góc phẳng nhị diện \[\left[ {S,BD,C} \right]\]có số đo bằng bao nhiêu độ?

Trả lời: 11,7.

Số tiền gốc anh Tú phải trả đều mỗi tháng là: \(300:12 = 25\) (triệu đồng).

Lãi suất mỗi tháng là: \(7,2\% :12 = 0,6\%  = 0,006\).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng thứ nhất là: \({L_1} = 300 \times 0,006 = 1,8\) (triệu đồng).

Số tiền gốc còn lại sau khi trả tháng thứ nhất là: \(300 - 25 = 275\) (triệu đồng).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng thứ hai là: \({L_2} = 275 \times 0,006 = 1,65\) (triệu đồng).

Cứ tiếp tục như vậy, số tiền gốc còn lại sẽ giảm dần sau mỗi tháng.

Số tiền gốc còn lại ở đầu tháng thứ \(k\) là: \(300 - (k - 1) \times 25\) (triệu đồng).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng thứ \(k\) là: \({L_k} = (300 - (k - 1) \times 25) \times 0,006\) (triệu đồng).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng cuối cùng (tháng thứ mười hai) là:

\({L_{12}} = (300 - (12 - 1) \times 25) \times 0,006 = 0,15\) (triệu đồng).

Tổng số tiền lãi anh Tú phải trả ngân hàng sau 12 tháng là tổng của một cấp số cộng với số hạng đầu \({L_1} = 1,8\), số hạng cuối \({L_{12}} = 0,15\) và có \(12\) số hạng.

Tổng lãi phải trả là: \(S = \frac{{12}}{2} \times ({L_1} + {L_{12}}) = 6 \times (1,8 + 0,15) = 6 \times 1,95 = 11,7\) (triệu đồng).

Vậy, tổng số tiền lãi anh Tú phải trả ngân hàng là \(11,7\) triệu đồng.

Đáp án: \[0,17\].

Đặt \[BM = x;\,BN = y\] vơi\[0 \le x,y \le 1\].

Diện tích tam giác \[BMN\]là \[{S_{BMN}} = \frac{1}{2}xy\].

Theo tính chất tiếp tuyến ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}MP = MA = 1 - x\\NP = NC = 1 - y\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow MN = MP + NP = 2 - x - y\].

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \[BMN\], ta có: \[B{M^2} + B{N^2} = M{N^2}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {2 - x - y} \right)^2} \Leftrightarrow xy + 2 = 2\left( {x + y} \right)\]

BĐT Cô-si, ta có: \[2\left( {x + y} \right) \ge 2.2\sqrt {xy} \] \[ \Leftrightarrow xy + 2 \ge 4\sqrt {xy} \]

\[ \Leftrightarrow xy - 4\sqrt {xy}  + 2 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {xy}  \le 2 - \sqrt 2 \\\sqrt {xy}  \ge 2 + \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy \le {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2}\\xy \ge {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^2}\end{array} \right.\]

Khi đó: \[{S_{BMN}} \le \frac{{{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{2}\]\[ \approx 0,17\].