Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm để cung cấp ra thị trường với khối lượng tối đa 100 tấn mỗi tháng. Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P(x) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để nhà máy \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng bao gồm: Chi phí cố định 100 triệu đồng; chi phí cho mỗi tấn sản phẩm làm ra 30 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng lợi nhuận tối đa mà nhà máy \(A\) thu về là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Gọi \(A,B,C\) lần lượt là các biến cố bạn An chọn quả bóng mang số \(1,\,\,2\,\,v\`a \,\,3\).

Gọi \(D\)là biến cố không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa, tức là tất cả các đồng xu đều xuất hiện mặt sấp, suy ra \(\overline D \) là biến cố có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Ta xét sơ đồ cây sau đây

 a) Xác suất để không có mặt ngửa nào xuất hiện là:

\(P\left( D \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. D \right|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {\left. D \right|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {\left. D \right|C} \right)\, = \,\frac{1}{3}.\frac{1}{2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{3}.\frac{1}{8} = \frac{7}{{24}}\).

Do đó a) Đúng.

 b) Gọi E là biến cố để 2 đồng xu xuất hiện mặt ngửa và 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp:

\(P\left( {\left. E \right|A} \right) = P\left( {\left. E \right|B} \right) = 0\) ; \(P\left( {\left. E \right|C} \right) = \frac{3}{8}\,\)

\(P\left( E \right)\, = P\left( A \right).P\left( {\left. E \right|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {\left. E \right|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {\left. E \right|C} \right)\)\( = 0 + 0 + \frac{1}{3}.\frac{3}{8} = \frac{1}{8}\) suy ra b) Sai.

c) Biết rằng không có mặt ngửa nào xuất hiện, xác suất An tung 2 đồng xu là

\(P\left( {\left. B \right|D} \right) = \frac{{P\left( {BD} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{{24}}}} = \frac{2}{7}\) . Suy ra c) Đúng.

d)  Biết rằng luôn có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa, xác suất để An bốc được quả bóng đánh số 3 là: \(P\left( {\left. C \right|\overline D } \right) = \frac{{P\left( {C\overline D } \right)}}{{P\left( {\overline D } \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{7}{8}}}{{1 - \frac{7}{{24}}}} = \frac{7}{{17}}\). Suy ra d) Sai.

Đáp án: 1

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\).

Do tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) \( \Rightarrow SM \bot AB\)

Do \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN//AD\) mà \(AD \bot AB\)\( \Rightarrow MN \bot AB\)

Khi đó \[\left[ {S,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}D} \right] = \widehat {SMN} = 135^\circ \].

Kẻ \(SH \bot \left( {ABCD} \right),H \in \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(SM \bot AB\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AB \bot HM\)

\( \Rightarrow H,M,N\) thẳng hàng.

Vì \[\widehat {SMN} = 135^\circ  \Rightarrow \widehat {SMH} = 45^\circ  \Rightarrow HM = SH\].

Tam giác \[SCD\] vuông tại \(C\) \( \Rightarrow CD \bot SC\) mà \(CD \bot SH\) (do \(SH \bot \left( {ABCD} \right))\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow CD \bot HC\).

Xét tam giác \(HCN\) vuông tại \(C\) ta có: \(\sin \widehat {CHN} = \frac{{CN}}{{HN}}\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(AD\)\( \Rightarrow BC = AK = \frac{{AD}}{2} = \frac{2}{2} = 1\) mà \(BC//AK\) nên \(ABCK\) là hình bình hành \( \Rightarrow AB//CK,AB = CK \Rightarrow CK \bot AD,CK = 2\).

Xét tam giác \(CDK\) vuông tại \(K\) ta có:

\(CD = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)\( \Rightarrow \sin \widehat {DCK} = \frac{{KD}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Mặt khác: \(\widehat {CHN} + \widehat {HNC} = \widehat {DCK} + \widehat {KDC} = 90^\circ \) mà \(\widehat {HNC} = \widehat {KDC}\)(2 góc đồng vị) \[ \Rightarrow \widehat {CHN} = \widehat {DCK}\]

\[ \Rightarrow \sin \widehat {CHN} = \sin \widehat {DCK} \Rightarrow \frac{{CN}}{{HN}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow HN = \sqrt 5 CN = \sqrt 5 .\frac{{CD}}{2} = \sqrt 5 .\frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{5}{2}\].

Do \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN = \frac{{BC + AD}}{2} = \frac{{1 + 2}}{2} = \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow HM = HN - MN = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1\) mà \(HM = SH \Rightarrow SH = 1\).

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\): \({V_{S.ABCD\;}} = \frac{1}{3}.SH.\frac{{BC + AD}}{2}.AB = \frac{1}{3}.1.\frac{{1 + 2}}{2}.2 = 1\) cm³.