Một túi chứa ba quả bóng được đánh số \(1,\,\,2\,\,v\`a \,\,3\). Bạn An chọn ngẫu nhiên một trong các quả bóng này và ghi lại số trên quả bóng được chọn. Sau đó, An tung một số đồng xu cân đối đồng chất bằng với số trên quả bóng đã chọn.

Đáp án: 1

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\).

Do tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) \( \Rightarrow SM \bot AB\)

Do \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN//AD\) mà \(AD \bot AB\)\( \Rightarrow MN \bot AB\)

Khi đó \[\left[ {S,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}D} \right] = \widehat {SMN} = 135^\circ \].

Kẻ \(SH \bot \left( {ABCD} \right),H \in \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(SM \bot AB\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AB \bot HM\)

\( \Rightarrow H,M,N\) thẳng hàng.

Vì \[\widehat {SMN} = 135^\circ  \Rightarrow \widehat {SMH} = 45^\circ  \Rightarrow HM = SH\].

Tam giác \[SCD\] vuông tại \(C\) \( \Rightarrow CD \bot SC\) mà \(CD \bot SH\) (do \(SH \bot \left( {ABCD} \right))\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow CD \bot HC\).

Xét tam giác \(HCN\) vuông tại \(C\) ta có: \(\sin \widehat {CHN} = \frac{{CN}}{{HN}}\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(AD\)\( \Rightarrow BC = AK = \frac{{AD}}{2} = \frac{2}{2} = 1\) mà \(BC//AK\) nên \(ABCK\) là hình bình hành \( \Rightarrow AB//CK,AB = CK \Rightarrow CK \bot AD,CK = 2\).

Xét tam giác \(CDK\) vuông tại \(K\) ta có:

\(CD = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)\( \Rightarrow \sin \widehat {DCK} = \frac{{KD}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Mặt khác: \(\widehat {CHN} + \widehat {HNC} = \widehat {DCK} + \widehat {KDC} = 90^\circ \) mà \(\widehat {HNC} = \widehat {KDC}\)(2 góc đồng vị) \[ \Rightarrow \widehat {CHN} = \widehat {DCK}\]

\[ \Rightarrow \sin \widehat {CHN} = \sin \widehat {DCK} \Rightarrow \frac{{CN}}{{HN}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow HN = \sqrt 5 CN = \sqrt 5 .\frac{{CD}}{2} = \sqrt 5 .\frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{5}{2}\].

Do \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN = \frac{{BC + AD}}{2} = \frac{{1 + 2}}{2} = \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow HM = HN - MN = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1\) mà \(HM = SH \Rightarrow SH = 1\).

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\): \({V_{S.ABCD\;}} = \frac{1}{3}.SH.\frac{{BC + AD}}{2}.AB = \frac{1}{3}.1.\frac{{1 + 2}}{2}.2 = 1\) cm³.

a) Đúng. Đường cong đi qua 3 điểm \[A,B,C\] là đường tròn tâm \[O\], bán kính bằng 1.

Phương trình đường tròn là \[{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {1 - {x^2}} \].

Do \[\left\{ \begin{array}{l}{x_A},{x_B},{x_C} \in \left[ { - 1;\frac{1}{3}} \right]\\{y_A},{y_B},{y_C} \ge 0\end{array} \right.\] .

nên \[A,B,C\] thuộc cong tròn có phương trình \[y = \sqrt {1 - {x^2}} \left( { - 1 \le x \le \frac{1}{3}} \right)\].

c) Đúng. Ta có \[{y_C} = \sqrt {1 - {x_c}^2}  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow C\left( {\frac{1}{3};\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\].

\[D\left( {3;0} \right)\]

\[\overrightarrow {CD}  = \left( {\frac{8}{3}; - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\] suy ra VTPT của đường thẳng \[CD\] là \[\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\].

Phương trình đường thẳng \[CD\] là

\[\sqrt 2 \left( {x - 3} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 x + 4y - 2\sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\].

Đoạn thẳng \[CD\] có phương trình là: \[y =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\left( {\frac{1}{3} \le x \le 3} \right)\].

d) Sai. Mặt dây chuyền chia thành 2 phần.

Phần 1 là khối tròn xoay tạo được khi xoay đường cong đi qua 3 điểm \[A,B,C\] quanh trục \[Ox\].

Tức là xoay miền hình phẳng sau \[\left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt {1 - {x^2}} \\Ox;x =  - 1;x = \frac{1}{3}\end{array} \right.\] quanh trục \[Ox\].

\[{V_1} = {5^3}\pi \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{3}} {{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx}  = \frac{{10000}}{{81}}\pi \left( {m{m^3}} \right)\].

Phần 1 là khối tròn xoay tạo được khi xoay đoạn thẳng \[CD\] quanh trục \[Ox\].

Tức là xoay miền hình phẳng sau \[\left\{ \begin{array}{l}y =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\\Ox;x = \frac{1}{3};x = 3\end{array} \right.\] quanh trục \[Ox\].

\[{V_2} = {5^3}\pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^3 {{{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}dx}  = \frac{{8000}}{{81}}\pi \left( {m{m^3}} \right)\].

Thể tích mặt dây chuyền là

\[V = {V_1} + {V_2} = \frac{{10000}}{{81}}\pi  + \frac{{8000}}{{81}}\pi  = \frac{{2000}}{9}\pi \left( {m{m^3}} \right) = \frac{{2\pi }}{9}\left( {c{m^3}} \right) \approx 0,7\left( {c{m^3}} \right)\].

b) Đúng. Khối lượng mặt dây chuyền là: \[m = \rho .V = 3,2.\frac{{2\pi }}{9} \approx 2,2(g)\].