Một túi chứa ba quả bóng được đánh số \(1,\,\,2\,\,v\`a \,\,3\). Bạn An chọn ngẫu nhiên một trong các quả bóng này và ghi lại số trên quả bóng được chọn. Sau đó, An tung một số đồng xu cân đối đồng chất bằng với số trên quả bóng đã chọn.

Đáp án: 1

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\).

Do tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) \( \Rightarrow SM \bot AB\)

Do \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN//AD\) mà \(AD \bot AB\)\( \Rightarrow MN \bot AB\)

Khi đó \[\left[ {S,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}D} \right] = \widehat {SMN} = 135^\circ \].

Kẻ \(SH \bot \left( {ABCD} \right),H \in \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(SM \bot AB\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AB \bot HM\)

\( \Rightarrow H,M,N\) thẳng hàng.

Vì \[\widehat {SMN} = 135^\circ  \Rightarrow \widehat {SMH} = 45^\circ  \Rightarrow HM = SH\].

Tam giác \[SCD\] vuông tại \(C\) \( \Rightarrow CD \bot SC\) mà \(CD \bot SH\) (do \(SH \bot \left( {ABCD} \right))\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow CD \bot HC\).

Xét tam giác \(HCN\) vuông tại \(C\) ta có: \(\sin \widehat {CHN} = \frac{{CN}}{{HN}}\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(AD\)\( \Rightarrow BC = AK = \frac{{AD}}{2} = \frac{2}{2} = 1\) mà \(BC//AK\) nên \(ABCK\) là hình bình hành \( \Rightarrow AB//CK,AB = CK \Rightarrow CK \bot AD,CK = 2\).

Xét tam giác \(CDK\) vuông tại \(K\) ta có:

\(CD = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)\( \Rightarrow \sin \widehat {DCK} = \frac{{KD}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Mặt khác: \(\widehat {CHN} + \widehat {HNC} = \widehat {DCK} + \widehat {KDC} = 90^\circ \) mà \(\widehat {HNC} = \widehat {KDC}\)(2 góc đồng vị) \[ \Rightarrow \widehat {CHN} = \widehat {DCK}\]

\[ \Rightarrow \sin \widehat {CHN} = \sin \widehat {DCK} \Rightarrow \frac{{CN}}{{HN}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow HN = \sqrt 5 CN = \sqrt 5 .\frac{{CD}}{2} = \sqrt 5 .\frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{5}{2}\].

Do \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN = \frac{{BC + AD}}{2} = \frac{{1 + 2}}{2} = \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow HM = HN - MN = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1\) mà \(HM = SH \Rightarrow SH = 1\).

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\): \({V_{S.ABCD\;}} = \frac{1}{3}.SH.\frac{{BC + AD}}{2}.AB = \frac{1}{3}.1.\frac{{1 + 2}}{2}.2 = 1\) cm³.

Đáp án: 0,31.

Không gian mẫu \(\Omega :\) “cắt thanh gỗ dài 15cm thành 3 đoạn theo các vạch chia cm”\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{14}^2\)

Xét biến cố A: “chia thanh gỗ thành 3 đoạn gỗ có thể ghép thành 3 cạnh của một tam giác”

Gọi \(x,y,z\) là độ dày của 3 thanh gỗ.

Vì \(x,y,z\) là độ dài ba cạnh của tam giác \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > z\\x + z > y\\y + z > x\end{array} \right.\)

Vì \(x + y + z = 15 \Rightarrow x,y,z < 7,5\).

Vì \(x,y,z\) là số nguyên dương nên \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 8\\y < 8\\z < 8\end{array} \right.\).đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = x - 8 > 0\\b = y - 8 > 0\\z = c - 8 > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a + b + c = 24 - \left( {x + y + z} \right) = 9\).

Áp dụng bài toán chia kẹo \( \Rightarrow n\left( A \right) = C_8^2 = 28 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{4}{{13}} \simeq 0,31\).