Để trang bị hệ thống làm mát cho nhà thi đấu đa năng mới khánh thành, ban quản lý dự kiến lắp đặt một mạng lưới vòi phun nước thông minh. Hệ thống sử dụng hai loại vòi:

1.Vòi phun áp lực (loại \(X\)): Công suất tiêu thụ \(5\) lít/giờ.

2. Vòi phun sương (loại \(Y\)): Công suất tiêu thụ \(11\) lít/giờ.

Theo yêu cầu vận hành của máy bơm trung tâm, tổng lượng nước tiêu thụ của toàn hệ thống phải đạt đúng 3300 lít/giờ và mỗi loại đều có ít nhất 1 vòi. .Để đồng bộ với các module điều khiển tự động, các vòi phun được lắp đặt theo từng cụm kỹ thuật, mỗi cụm yêu cầu đúng 8 vòi (không phân biệt loại). Một phương án lắp đặt được coi là "tối ưu về kỹ thuật" nếu tổng số vòi của toàn hệ thống là một số chia hết cho 8 để khớp hoàn toàn với các cụm điều khiển.

Người ta chọn ngẫu nhiên một phương án lắp đặt thỏa mãn tổng công suất tiêu thụ. Tính xác suất để phương án được chọn là phương án tối ưu về kỹ thuật (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).  

Gọi \(A,B,C\) lần lượt là các biến cố bạn An chọn quả bóng mang số \(1,\,\,2\,\,v\`a \,\,3\).

Gọi \(D\)là biến cố không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa, tức là tất cả các đồng xu đều xuất hiện mặt sấp, suy ra \(\overline D \) là biến cố có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Ta xét sơ đồ cây sau đây

 a) Xác suất để không có mặt ngửa nào xuất hiện là:

\(P\left( D \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. D \right|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {\left. D \right|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {\left. D \right|C} \right)\, = \,\frac{1}{3}.\frac{1}{2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{3}.\frac{1}{8} = \frac{7}{{24}}\).

Do đó a) Đúng.

 b) Gọi E là biến cố để 2 đồng xu xuất hiện mặt ngửa và 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp:

\(P\left( {\left. E \right|A} \right) = P\left( {\left. E \right|B} \right) = 0\) ; \(P\left( {\left. E \right|C} \right) = \frac{3}{8}\,\)

\(P\left( E \right)\, = P\left( A \right).P\left( {\left. E \right|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {\left. E \right|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {\left. E \right|C} \right)\)\( = 0 + 0 + \frac{1}{3}.\frac{3}{8} = \frac{1}{8}\) suy ra b) Sai.

c) Biết rằng không có mặt ngửa nào xuất hiện, xác suất An tung 2 đồng xu là

\(P\left( {\left. B \right|D} \right) = \frac{{P\left( {BD} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{{24}}}} = \frac{2}{7}\) . Suy ra c) Đúng.

d)  Biết rằng luôn có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa, xác suất để An bốc được quả bóng đánh số 3 là: \(P\left( {\left. C \right|\overline D } \right) = \frac{{P\left( {C\overline D } \right)}}{{P\left( {\overline D } \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{7}{8}}}{{1 - \frac{7}{{24}}}} = \frac{7}{{17}}\). Suy ra d) Sai.

Đáp án: 1

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\).

Do tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) \( \Rightarrow SM \bot AB\)

Do \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN//AD\) mà \(AD \bot AB\)\( \Rightarrow MN \bot AB\)

Khi đó \[\left[ {S,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}D} \right] = \widehat {SMN} = 135^\circ \].

Kẻ \(SH \bot \left( {ABCD} \right),H \in \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(SM \bot AB\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AB \bot HM\)

\( \Rightarrow H,M,N\) thẳng hàng.

Vì \[\widehat {SMN} = 135^\circ  \Rightarrow \widehat {SMH} = 45^\circ  \Rightarrow HM = SH\].

Tam giác \[SCD\] vuông tại \(C\) \( \Rightarrow CD \bot SC\) mà \(CD \bot SH\) (do \(SH \bot \left( {ABCD} \right))\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow CD \bot HC\).

Xét tam giác \(HCN\) vuông tại \(C\) ta có: \(\sin \widehat {CHN} = \frac{{CN}}{{HN}}\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(AD\)\( \Rightarrow BC = AK = \frac{{AD}}{2} = \frac{2}{2} = 1\) mà \(BC//AK\) nên \(ABCK\) là hình bình hành \( \Rightarrow AB//CK,AB = CK \Rightarrow CK \bot AD,CK = 2\).

Xét tam giác \(CDK\) vuông tại \(K\) ta có:

\(CD = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)\( \Rightarrow \sin \widehat {DCK} = \frac{{KD}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Mặt khác: \(\widehat {CHN} + \widehat {HNC} = \widehat {DCK} + \widehat {KDC} = 90^\circ \) mà \(\widehat {HNC} = \widehat {KDC}\)(2 góc đồng vị) \[ \Rightarrow \widehat {CHN} = \widehat {DCK}\]

\[ \Rightarrow \sin \widehat {CHN} = \sin \widehat {DCK} \Rightarrow \frac{{CN}}{{HN}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow HN = \sqrt 5 CN = \sqrt 5 .\frac{{CD}}{2} = \sqrt 5 .\frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{5}{2}\].

Do \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN = \frac{{BC + AD}}{2} = \frac{{1 + 2}}{2} = \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow HM = HN - MN = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1\) mà \(HM = SH \Rightarrow SH = 1\).

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\): \({V_{S.ABCD\;}} = \frac{1}{3}.SH.\frac{{BC + AD}}{2}.AB = \frac{1}{3}.1.\frac{{1 + 2}}{2}.2 = 1\) cm³.