Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại hai đỉnh \(A\) và \(B\), đồng thời \(AB = AD = 2BC = 2\)cm. Biết rằng tam giác \(SAB\) cân tại \(S\), tam giác \[SCD\] vuông tại \(C\) và số đo góc nhị diện \[\left[ {S,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}D} \right]\] bằng \[135^\circ \]. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) (đơn vị cm³).

Gọi \(A,B,C\) lần lượt là các biến cố bạn An chọn quả bóng mang số \(1,\,\,2\,\,v\`a \,\,3\).

Gọi \(D\)là biến cố không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa, tức là tất cả các đồng xu đều xuất hiện mặt sấp, suy ra \(\overline D \) là biến cố có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Ta xét sơ đồ cây sau đây

 a) Xác suất để không có mặt ngửa nào xuất hiện là:

\(P\left( D \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. D \right|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {\left. D \right|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {\left. D \right|C} \right)\, = \,\frac{1}{3}.\frac{1}{2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{3}.\frac{1}{8} = \frac{7}{{24}}\).

Do đó a) Đúng.

 b) Gọi E là biến cố để 2 đồng xu xuất hiện mặt ngửa và 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp:

\(P\left( {\left. E \right|A} \right) = P\left( {\left. E \right|B} \right) = 0\) ; \(P\left( {\left. E \right|C} \right) = \frac{3}{8}\,\)

\(P\left( E \right)\, = P\left( A \right).P\left( {\left. E \right|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {\left. E \right|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {\left. E \right|C} \right)\)\( = 0 + 0 + \frac{1}{3}.\frac{3}{8} = \frac{1}{8}\) suy ra b) Sai.

c) Biết rằng không có mặt ngửa nào xuất hiện, xác suất An tung 2 đồng xu là

\(P\left( {\left. B \right|D} \right) = \frac{{P\left( {BD} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{{24}}}} = \frac{2}{7}\) . Suy ra c) Đúng.

d)  Biết rằng luôn có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa, xác suất để An bốc được quả bóng đánh số 3 là: \(P\left( {\left. C \right|\overline D } \right) = \frac{{P\left( {C\overline D } \right)}}{{P\left( {\overline D } \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{7}{8}}}{{1 - \frac{7}{{24}}}} = \frac{7}{{17}}\). Suy ra d) Sai.

a) Đúng. Đường cong đi qua 3 điểm \[A,B,C\] là đường tròn tâm \[O\], bán kính bằng 1.

Phương trình đường tròn là \[{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {1 - {x^2}} \].

Do \[\left\{ \begin{array}{l}{x_A},{x_B},{x_C} \in \left[ { - 1;\frac{1}{3}} \right]\\{y_A},{y_B},{y_C} \ge 0\end{array} \right.\] .

nên \[A,B,C\] thuộc cong tròn có phương trình \[y = \sqrt {1 - {x^2}} \left( { - 1 \le x \le \frac{1}{3}} \right)\].

c) Đúng. Ta có \[{y_C} = \sqrt {1 - {x_c}^2}  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow C\left( {\frac{1}{3};\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\].

\[D\left( {3;0} \right)\]

\[\overrightarrow {CD}  = \left( {\frac{8}{3}; - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\] suy ra VTPT của đường thẳng \[CD\] là \[\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\].

Phương trình đường thẳng \[CD\] là

\[\sqrt 2 \left( {x - 3} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 x + 4y - 2\sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\].

Đoạn thẳng \[CD\] có phương trình là: \[y =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\left( {\frac{1}{3} \le x \le 3} \right)\].

d) Sai. Mặt dây chuyền chia thành 2 phần.

Phần 1 là khối tròn xoay tạo được khi xoay đường cong đi qua 3 điểm \[A,B,C\] quanh trục \[Ox\].

Tức là xoay miền hình phẳng sau \[\left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt {1 - {x^2}} \\Ox;x =  - 1;x = \frac{1}{3}\end{array} \right.\] quanh trục \[Ox\].

\[{V_1} = {5^3}\pi \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{3}} {{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx}  = \frac{{10000}}{{81}}\pi \left( {m{m^3}} \right)\].

Phần 1 là khối tròn xoay tạo được khi xoay đoạn thẳng \[CD\] quanh trục \[Ox\].

Tức là xoay miền hình phẳng sau \[\left\{ \begin{array}{l}y =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\\Ox;x = \frac{1}{3};x = 3\end{array} \right.\] quanh trục \[Ox\].

\[{V_2} = {5^3}\pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^3 {{{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}dx}  = \frac{{8000}}{{81}}\pi \left( {m{m^3}} \right)\].

Thể tích mặt dây chuyền là

\[V = {V_1} + {V_2} = \frac{{10000}}{{81}}\pi  + \frac{{8000}}{{81}}\pi  = \frac{{2000}}{9}\pi \left( {m{m^3}} \right) = \frac{{2\pi }}{9}\left( {c{m^3}} \right) \approx 0,7\left( {c{m^3}} \right)\].

b) Đúng. Khối lượng mặt dây chuyền là: \[m = \rho .V = 3,2.\frac{{2\pi }}{9} \approx 2,2(g)\].