Một hộ gia đình muốn xây dựng một kho chứa mini dạng khối tứ diện OABC tận dụng góc tường nhà (với O là góc tường, ba cạnh OA, OB, OC nằm trên ba mép tường vuông góc). Để lắp đặt hệ thống thông gió, mặt phía trước của kho (mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)) bắt buộc phải đi qua một van điều tiết đặt tại vị trí M có tọa độ \(M\left( {1;2;1} \right)\) (đơn vị tính là mét). Gia đình muốn thiết kế kho sao cho thể tích của kho là nhỏ nhất để không làm ảnh hưởng quá nhiều đến diện tích sinh hoạt của sân chung. Khi kho được thiết kế với thể tích nhỏ nhất, hãy tính khoảng cách từ góc tường O đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Toán Tốt nghiệp THPT 2025-2026 Ninh Bình !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 2.
Đặt hệ trục tọa độ Oxyz có gốc \(O(0;0;0)\), các tia Ox, Oy, Oz lần lượt chứa các cạnh OA, OB, OC của tứ diện. Gọi tọa độ các điểm là \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\) với \(a,b,c > 0\).
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) có dạng mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Vì mặt phẳng \((ABC)\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) nên ta có hệ thức: \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\).
Thể tích khối tứ diện OABC là: \(V = \frac{1}{6}abc\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho ba số dương \(\frac{1}{a},\frac{2}{b},\frac{1}{c}\), ta có:
\(1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{b} \cdot \frac{1}{c}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}}\) \( \Rightarrow 1 \ge 27 \cdot \frac{2}{{abc}} \Rightarrow abc \ge 54\).
Thể tích nhỏ nhất \({V_{min}} = \frac{1}{6} \cdot 54 = 9{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\) khi và chỉ khi: \(\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow a = 3,b = 6,c = 3\).
Khi đó, phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 6 = 0\).
Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(d(O,(ABC)) = \frac{{|2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{6}{3} = 2{\rm{ m}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 1,67.
Ta có đồ thị hàm số \(f(x)\) tiếp xúc với trục Ox tại điểm \(B\left( {10;0} \right)\) nên \(f\left( x \right) = \frac{{a{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + d}}\)
Đồ thị đi qua \(A\left( {0;10} \right) \Rightarrow 10 = \frac{{a.100}}{d} \Rightarrow d = 10a\).
Đồ thị đi qua \(C\left( {15;1} \right) \Rightarrow 1 = \frac{{a.25}}{{15 + d}} \Rightarrow 15 + d = 25a \Rightarrow 15 + 10a = 25a \Rightarrow a = 1;d = 10\).
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + 10}}\).
Có \(x = 5 \Rightarrow y = \frac{{25}}{{15}} \approx 1,67\)
Vậy Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang 1 khoảng 5 mét thì nam cách mặt đất \(1,67\left( m \right)\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: \(1,08\).
Doanh thu của nhà máy A trong một tháng là:
\(D\left( x \right) = \left( {50 - 0,0002{x^2}} \right)x = 50x - 0,0002{x^3}\) (triệu đồng).
Tiền thuế nhà máy A phải nộp là \(T\left( x \right) = D\left( x \right).5\% \) (triệu đồng).
Chi phí sản xuất: \(C\left( x \right) = 150 + 35x\) (triệu đồng).
Lợi nhuận sau thuế trong một tháng của nhà máy A là:
\(L\left( x \right) = D\left( x \right) - D\left( x \right).5\% - C\left( x \right) = 0,95.\left( {50x - 0,0002{x^3}} \right) - \left( {150 + 35x} \right)\)
\( = - 0,00019{x^3} + 12,5x - 150\) (triệu đồng)
Ta có \(L'\left( x \right) = - 0,00057{x^2} + 12,5\)
\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{125}}{{0,0057}}} \)
Bảng biến thiên
Lợi nhuận sau thuế lớn nhất trong một tháng của nhà máy A là:
\(\max L\left( x \right) = L\left( {\sqrt {\frac{{125}}{{0,0057}}} } \right) \times \frac{1}{{1000}} \approx 1,08\) (tỉ đồng).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập