Một hộ gia đình muốn xây dựng một kho chứa mini dạng khối tứ diện OABC tận dụng góc tường nhà (với O là góc tường, ba cạnh OA, OB, OC nằm trên ba mép tường vuông góc). Để lắp đặt hệ thống thông gió, mặt phía trước của kho (mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)) bắt buộc phải đi qua một van điều tiết đặt tại vị trí M có tọa độ \(M\left( {1;2;1} \right)\) (đơn vị tính là mét). Gia đình muốn thiết kế kho sao cho thể tích của kho là nhỏ nhất để không làm ảnh hưởng quá nhiều đến diện tích sinh hoạt của sân chung. Khi kho được thiết kế với thể tích nhỏ nhất, hãy tính khoảng cách từ góc tường O đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Đáp án: 1,67.

Ta có đồ thị hàm số \(f(x)\) tiếp xúc với trục Ox tại điểm \(B\left( {10;0} \right)\) nên \(f\left( x \right) = \frac{{a{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + d}}\)

Đồ thị đi qua \(A\left( {0;10} \right) \Rightarrow 10 = \frac{{a.100}}{d} \Rightarrow d = 10a\).

Đồ thị đi qua \(C\left( {15;1} \right) \Rightarrow 1 = \frac{{a.25}}{{15 + d}} \Rightarrow 15 + d = 25a \Rightarrow 15 + 10a = 25a \Rightarrow a = 1;d = 10\).

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + 10}}\).

Có \(x = 5 \Rightarrow y = \frac{{25}}{{15}} \approx 1,67\)

Vậy Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang 1 khoảng 5 mét thì nam cách mặt đất \(1,67\left( m \right)\)

Đáp án: \(1,08\).

Doanh thu của nhà máy A trong một tháng là:

\(D\left( x \right) = \left( {50 - 0,0002{x^2}} \right)x = 50x - 0,0002{x^3}\) (triệu đồng).

Tiền thuế nhà máy A phải nộp là \(T\left( x \right) = D\left( x \right).5\% \) (triệu đồng).

Chi phí sản xuất: \(C\left( x \right) = 150 + 35x\) (triệu đồng).

Lợi nhuận sau thuế trong một tháng của nhà máy A là:

\(L\left( x \right) = D\left( x \right) - D\left( x \right).5\%  - C\left( x \right) = 0,95.\left( {50x - 0,0002{x^3}} \right) - \left( {150 + 35x} \right)\)

\( =  - 0,00019{x^3} + 12,5x - 150\) (triệu đồng)

Ta có \(L'\left( x \right) =  - 0,00057{x^2} + 12,5\)

\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {\frac{{125}}{{0,0057}}} \)

Bảng biến thiên

Lợi nhuận sau thuế lớn nhất trong một tháng của nhà máy A là:

\(\max L\left( x \right) = L\left( {\sqrt {\frac{{125}}{{0,0057}}} } \right) \times \frac{1}{{1000}} \approx 1,08\) (tỉ đồng).