Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Trên tia \(AM\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AM = MD.\)

a) Chứng minh: tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật.

b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC.\) Tia \(DC\) cắt tia \(BN\) tại điểm \(E.\) Chứng minh: \(CE = AB\) và tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành.

c) Đường thẳng \(MN\) cắt \(AE\) tại điểm \(P.\) Chứng minh: \(BP\) đi qua trung điểm của \(AM.\)

a) Xét tứ giác \(ABDC\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AD\) (do \(AM = MD)\) nên \(ABDC\) là hình bình hành.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)

Mà \(AM = \frac{1}{2}AD\) (do \(M\) là trung điểm của \(AD)\) nên \(BC = AD.\)

Hình bình hành \(ABDC\) có hai đường chéo bằng nhau \(BC = AD\) nên là hình chữ nhật.

b) Do \(ABDC\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ \) hay \(AC \bot DE.\)

Xét \(\Delta ABN\) (vuông tại \(A)\) và \(\Delta CEN\) (vuông tại \(C)\) có:

\(AN = CN\) (do \(N\) là trung điểm của \(AC);\) \(\widehat {ANB} = \widehat {CNE}\) (đối đỉnh)

Do đó \[\Delta ABN = \Delta CEN\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \(AB = CE\) (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác \(ABCE\) có \(AB\,{\rm{//}}\,CE\) (do \(ABDC\) là hình chữ nhật) và \(AB = CE\) nên \(ABCE\) là hình bình hành.

c) Ta có \(AN = CN\) và \(AM = CM\) nên \(MN\) là đường trung trực của \(AC,\) do đó \(MN \bot AC.\)

Mà \(AB \bot AC\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,MN\) hay \(AB\,{\rm{//}}\,MP.\)

Xét tứ giác \(ABMP\) có \(AB\,{\rm{//}}\,MP\) và \(BM\,{\rm{//}}\,AP\) (do \(ABCE\) là hình bình hành) nên \(ABMP\) là hình bình hành. Do đó hai đường chéo \(BP\) và \(AM\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy \(BP\) đi qua trung điểm của \(AM.\)