(1,5 điểm): Khối 6 của một trường THCS đi tham quan dã ngoại. Nếu chia số học sinh thành các đội sao cho mỗi đội có 12 học sinh, 18 học sinh và 30 học sinh thì đều vừa đủ không thừa học sinh nào. Biết số học sinh khối 6 trong khoảng từ 500 đến 700 học sinh. Tính số học sinh khối 6 của trường đó đi tham quan dã ngoại.

a) Ta có: \[{3^1} = 3\,;\,\,{3^2} = 9\,;\,\,{3^3} = 27\,;\,\,{3^4} = 81\].

Do đó \[{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} = 3 + 9 + 27 + 81 = 120\].

Nên \[A = \;{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + \ldots + {\rm{ }}{3^{2024}}\]

\[ = \left( {{3^1} + {3^2}\; + {3^3}\; + {3^4}} \right) + \left( {{3^5} + {3^6}\; + {3^7} + {3^8}} \right) + {\rm{ }} \ldots + \left( {{3^{2021}} + {3^{2022}}\; + {\rm{ }}{3^{2023}}\; + {3^{2024}}} \right)\]

\[ = \left( {{3^1} + {3^2}\; + {3^3}\; + {3^4}} \right) + {3^4}\left( {{3^1} + {\rm{ }}{3^2}\; + {\rm{ }}{3^3}\; + {\rm{ }}{3^4}} \right) + \ldots + {3^{2020}}\left( {{3^1} + {3^2}\; + {3^3}\; + {3^4}} \right)\]

\[ = 120 + {3^4} \cdot 120 + {\rm{ }} \ldots + {3^{2020}} \cdot 120\]

\[ = 120\left( {1 + {3^4} + \ldots + {3^{2020}}} \right)\,\, \vdots \,\,120\].

Vậy \[A = \;{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + \ldots + {\rm{ }}{3^{2024}}\,\, \vdots \,\,120\].

b) \[x + 10y + 2xy + 1 = 0\]

\[\left( {x + 5} \right)\left( {2y + 1} \right) = 4\]

Suy ra \[x + 5\] và \[2y + 1\] là ước của 4.

Ư\[\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\,\, \pm 2\,;\,\, \pm 4} \right\}\].

Mà \[2y + 1\] là số lẻ nên \[2y + 1\] chỉ là ước lẻ của 4.

Tính được \[\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( { - 1\,;\,\,0} \right)\] hoặc \[\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( { - 9\,;\,\, - 1} \right)\].