(1 điểm):

a) Cho \[A = \;{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + \ldots + {\rm{ }}{3^{2024}}.\] Chứng minh rằng A chia hết cho 120.

b) Tìm các số nguyên \[x,{\rm{ }}y\] biết: \[x + 10y + 2xy + 1 = 0.\]

a) Ta có: \[{3^1} = 3\,;\,\,{3^2} = 9\,;\,\,{3^3} = 27\,;\,\,{3^4} = 81\].

Do đó \[{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} = 3 + 9 + 27 + 81 = 120\].

Nên \[A = \;{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + \ldots + {\rm{ }}{3^{2024}}\]

\[ = \left( {{3^1} + {3^2}\; + {3^3}\; + {3^4}} \right) + \left( {{3^5} + {3^6}\; + {3^7} + {3^8}} \right) + {\rm{ }} \ldots + \left( {{3^{2021}} + {3^{2022}}\; + {\rm{ }}{3^{2023}}\; + {3^{2024}}} \right)\]

\[ = \left( {{3^1} + {3^2}\; + {3^3}\; + {3^4}} \right) + {3^4}\left( {{3^1} + {\rm{ }}{3^2}\; + {\rm{ }}{3^3}\; + {\rm{ }}{3^4}} \right) + \ldots + {3^{2020}}\left( {{3^1} + {3^2}\; + {3^3}\; + {3^4}} \right)\]

\[ = 120 + {3^4} \cdot 120 + {\rm{ }} \ldots + {3^{2020}} \cdot 120\]

\[ = 120\left( {1 + {3^4} + \ldots + {3^{2020}}} \right)\,\, \vdots \,\,120\].

Vậy \[A = \;{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + \ldots + {\rm{ }}{3^{2024}}\,\, \vdots \,\,120\].

b) \[x + 10y + 2xy + 1 = 0\]

\[\left( {x + 5} \right)\left( {2y + 1} \right) = 4\]

Suy ra \[x + 5\] và \[2y + 1\] là ước của 4.

Ư\[\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\,\, \pm 2\,;\,\, \pm 4} \right\}\].

Mà \[2y + 1\] là số lẻ nên \[2y + 1\] chỉ là ước lẻ của 4.

Tính được \[\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( { - 1\,;\,\,0} \right)\] hoặc \[\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( { - 9\,;\,\, - 1} \right)\].