Người ta định xây một căn nhà mà mặt bằng là một hình chữ nhật với hai kích thước là a và \({\rm{b}}({\rm{m}})\) mà \(7,5 \le {\rm{a}} \le 7,6\) và \(5,4 \le {\rm{b}} \le 5,5\). Có thể xây cả căn nhà với mặt bằng không nhỏ hơn \(41\;{{\rm{m}}^2}\) được không?

1. Với \(m = 1\), ta có phương trình \(2x + 3y = 3\).

i) Thay \(x = 3,y =  - 2\) vào phương trình, ta có \(2 \cdot 3 + 3 \cdot ( - 2) = 6 \ne 3\) nên \((\,3\,; - 2)\) không là nghiệm của phương trình.

ii) Thay \(x = 0,y = 1\) vào phương trình, ta có \(2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3\) nên \((0\,;1)\) là nghiệm của phương trình.

iii) Thay \(x =  - 1,y = 0\) vào phương trình, ta có \(2 \cdot ( - 1) + 3 \cdot 0 =  - 2 \ne 3\) nên \(( - 1\,;0)\) không là nghiệm của phương trình.

2. Tìm nghiệm tổng quát.

i) Với \(m =  - 1\) ta có phương trình \( - 1 \cdot x + ( - 1 + 1)y = 3 \Leftrightarrow x =  - 3\).

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 3}\\{y \in \mathbb{R}{\rm{ }}}\end{array}.} \right.\)

ii) Với \(m = 2\) ta có phương trình \(2x + 3y = 3\)\( \Leftrightarrow y =  - \frac{2}{3}x + 1\).

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \mathbb{R}}\\{y =  - \frac{2}{3}x + 1{\rm{ }}}\end{array}} \right..\)

Hoặc: \(2x + 3y = 3 \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}\). Vậy phương trình có nghiệm tổng quát \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}}\\{y \in \mathbb{R}}\end{array}} \right..\)

3. Tìm giá trị \(m\) tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm.

i) Thay \(x = 3,y = 1\) vào phương trình, ta có \(3m + (m + 1) \cdot 1 = 3\) hay \(m = \frac{1}{2}\).

ii) Thay \(x = 2,y = 3\) vào phương trình, ta có \(2m + (m + 1) \cdot 3 = 3\) hay \(m = 0\).

Ta có \({(ax + by)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

\({(ax + by)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 0\)

\({a^2}{x^2} + 2abxy + {b^2}{y^2} - {a^2}{x^2} - {a^2}{y^2} - {b^2}{x^2} - {b^2}{y^2} \le 0\)

\(\left( {{a^2}{y^2} - 2abxy + {b^2}{x^2}} \right) \le 0\)

\({(ay - bx)^2}{\rm{ }} \ge 0\)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" khi và chỉ khi \({\rm{ay}} = {\rm{bx}})\).

Áp dụng: \({(3x + 4y)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\); \({5^2} \le 25\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).

Do đó \({x^2} + {y^2} \ge 1\) (dấu "=" khi và chỉ khi \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) ).