Giải các bất phương trình sau

a) \(\frac{{3 + x}}{4} + \frac{{2 - x}}{3} < 0\)       b) \(x - \frac{{x - 3}}{5} + \frac{{2x - 1}}{{10}} < 4\)

c) \(\frac{{4 - y}}{5} - 5y > 0\)                                d) \(\frac{{y - 1}}{2} - 1 + \frac{{2y - 1}}{6} > y\)

a)\(A = {x^2} - 3x + 2\)\( = {x^2} - 3x + \frac{9}{4} - \frac{1}{4}\)\(\; = {\left( {{\rm{x}} - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge - \frac{1}{4}\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{x}} = \frac{3}{2}{\rm{ )}}{\rm{. }}\)

Vậy \(\min A = - \frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{3}{2}\).

b) \(B = {(x + y)^4} - 8{(x + y)^2} + 17\)\( = {\left[ {{{(x + y)}^2} - 4} \right]^2} + 1 \ge 1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({(x + y)^2} = 4\) hay \(x + y = \pm 2\).

Vậy \(\min A = 1\) khi \(x + y = \pm 2\).

Ta có \({(ax + by)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

\({(ax + by)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 0\)

\({a^2}{x^2} + 2abxy + {b^2}{y^2} - {a^2}{x^2} - {a^2}{y^2} - {b^2}{x^2} - {b^2}{y^2} \le 0\)

\(\left( {{a^2}{y^2} - 2abxy + {b^2}{x^2}} \right) \le 0\)

\({(ay - bx)^2}{\rm{ }} \ge 0\)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" khi và chỉ khi \({\rm{ay}} = {\rm{bx}})\).

Áp dụng: \({(3x + 4y)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\); \({5^2} \le 25\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).

Do đó \({x^2} + {y^2} \ge 1\) (dấu "=" khi và chỉ khi \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) ).