Chứng minh các đẳng thức sau:

    a). \(\frac{3}{2}\sqrt 6  + 2\sqrt {\frac{2}{3}}  - 4\sqrt {\frac{3}{2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

    b). \(\left( {x\sqrt {\frac{6}{x}}  + \sqrt {\frac{{2x}}{3}}  + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}  = 2\frac{1}{3}\quad \) với \(x > 0\).

Ta có: \(\frac{1}{{2 + 2\sqrt a }} + \frac{1}{{2 - 2\sqrt a }} = \frac{1}{{2(1 + \sqrt a )}} + \frac{1}{{2(1 - \sqrt a )}}\)

\( = \frac{{1 - \sqrt a  + 1 + \sqrt a }}{{2(1 + \sqrt a )(1 - \sqrt a )}} = \frac{2}{{2(1 - a)}} = \frac{1}{{1 - a}}\)

Do đó biểu thức đã cho bằng:\(\left( {\frac{1}{{1 - a}} - \frac{{{a^2} + 1}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}}} \right) \cdot \frac{{a + 1}}{a} = \)\(\frac{{1 + a - {a^2} - 1}}{{1 - {a^2}}} \cdot \frac{{a + 1}}{a}\)

 \( = \frac{{a\left( {1 - a} \right)}}{{1 - {a^2}}} \cdot \frac{{a + 1}}{a} = 1\).

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến \(a\).

        ta có: \(\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a  = \frac{{1 - {{\left( {\sqrt a } \right)}^3}}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a  = 1 + \sqrt a  + a + \sqrt a \)\( = 1 + 2\sqrt a  + a = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2}\)

và \(\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}} = \frac{{1 - \sqrt a }}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}} = \frac{1}{{1 + \sqrt a }}\)

Do đó: \({\rm{VT}} = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2} = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2} \cdot \frac{1}{{{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}} = 1 = {\rm{VP}}\) (đpcm).

b) Ta có: \({\rm{VT}} = \frac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}}  = \frac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{{{a^2}{b^4}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}}  = \frac{{a + b}}{{{b^2}}}.\frac{{\left| a \right|.{b^2}}}{{a + b}} = \left| a \right| = {\rm{VP}}\) (đpcm).

(do \(a + b > 0\) và \(b \ne 0\)).