Cho hai đường tròn \[\left( O \right)\] và \[\left( {O'} \right)\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\]. Một đường thẳng \[d\] đi qua \[A\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[E\] và cắt \[\left( {O'} \right)\] tại \[F\] (\[E\] và \[F\] khác \[A\]). Biết điểm \[A\] nằm trong đoạn \[EF\]. Gọi \[I\] và \[K\] lần lượt là trung điểm của \[AE\] và \[AF\] (hình vẽ)

a) Chứng minh rằng tứ giác \[OO'KI\] là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng \[IK = \frac{1}{2}EF\]

c) Khi \[d\] ở vị trí nào (\[d\] vẫn qua \[A\]) thì \[OO'KI\] là một hình chữ nhật?

Cho hai đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\] và \[\left( {A;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\] cắt nhau tại \[C,{\rm{ }}D\], điểm \[A\] nằm trên đường tròn tâm \[O\] (hình vẽ).

a) Vẽ đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\]

b) Đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\] có đi qua hai điểm \[O\] và \[A\] không? Vì sao?

Cho đường tròn \((O)\) đương kính \(BC\) và điểm \(A\) (khác \(B\) và \(C\) ).

a) Chứng minh rằng nếu \(A\) nằm trên \((O)\) thì \(ABC\) là một tam giáo vuông; ngược lại, nếu \(ABC\) là một tam giác vuông tại \(A\) thì \(A\) nằm trên \((O)\).

b) Giả sử \(A\) là một trong hai giao điểm của đường tròn \((B;BO)\) với đường tròn \((O)\). Tính các góc của tam giác \(ABC\).

c) Với cùng giả thiết câu \({\rm{b}}\), tính độ dài cung \(AC\) và diện tích hình quạt nằm trong \((O)\) giới hạn bởi các bán kính \(OA\) và \(OC\), biết rằng \(BC = 6\;{\rm{cm}}\).

Cho \[AB\] là dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn \[\left( {0;{\rm{ }}4{\rm{ }}cm} \right)\]. Gọi \[C\] và \[D\] lần lượt là các điểm đối xứng với \[A\] và \[B\] qua tâm \[O\].

a) Hai điểm \[C\] và \[D\] có nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\] không? Vì sao?

b) Biết rằng \[ABCD\] là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn \[AB\] và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính \[OA\] và \[OB\].

Cho điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[C\], sao cho \[AB = 2{\rm{ }}cm\] và \[BC = 1{\rm{ }}cm\]. Vẽ các đường tròn \[\left( {A;{\rm{ }}1,5{\rm{ }}cm} \right),{\rm{ }}\left( {B;{\rm{ }}3{\rm{ }}cm} \right),{\rm{ }}\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\]. Hãy xác định các cặp đường tròn:

a) Cắt nhau; b) Không giao nhau;

c) Tiếp xúc nhau.

Cho tam giác vuông \[ABC\] (\[\^A\] vuông). Vẽ hai đường tròn \[\left( {B;{\rm{ }}BA} \right)\] và \[\left( {C;{\rm{ }}CA} \right)\] cắt nhau tại \[A\] và \[A'\]. Chứng minh rằng:

a) \[BA\] và \[BA'\] là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}CA} \right).\]

b) \[CA\] và \[CA'\] là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \[\left( {B;{\rm{ }}BA} \right).\]