Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) và đường kính \(AB\). Từ \[A\] và \[B\] kẻ hai tiếp tuyến \[Ax,\,\,By.\] Qua điểm \[M\] thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến \[Ax,\,\,By\] lần lượt ở \[C\] và \[D\]. Các đường thẳng \[AD\] và \[BC\] cắt nhau tại \[N\]. Khi đó:            

a) Đúng.

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] nên \[AB = AC\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \[A\] thuộc đường trung trực của \[BC\].

Mà \[OB = OC = R\] nên \[O\] thuộc đường trung trực của \[BC\]

Do đó \[OA\] là đường trung trực của \[BC\] nên \[OA \bot BC\] tại \[H\].

b) Đúng.

Xét \(\Delta OBE\) cân tại \(O\) (do \(OB = OE = R)\) nên

\(\widehat {OBE} = \widehat {OEB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BOE}.\)

Xét \(\Delta OED\) cân tại \(O\) (do \(OD = OE = R)\) nên \(2\widehat {ODE} = 180^\circ - \widehat {EOD} = \widehat {BOE}\).

Suy ra \(2\widehat {ODE} = \widehat {BOE}\) hay \(\widehat {ODE} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}\). Do đó, \(\widehat {BDA} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}.\)

Suy ra \(\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {BDA}.\)

Mà \(\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {ABE}\) nên \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\].

c) Đúng.

Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta ADB\] có: \[\widehat {BAD}\] chung, \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\].

Do đó $\Delta ABE\backsim \Delta ADB$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}\] nên \[A{B^2} = AE \cdot AD\].

d) Sai.

Xét \(\Delta AOB\) vuông tại \(B,\) có:

\(\cos \widehat {AOB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)R}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4},\) suy ra \(\widehat {AOB} = 75^\circ .\)

Do \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \[OA\] là tia tiếp tuyến của \(\widehat {BOC}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \(\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ .\)

Do đó \(\widehat {COD} = 180^\circ - \widehat {BOC} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \) nên

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OC,\,\,OD\) và cung nhỏ \(CD\) là:

\(S = \frac{{\pi {R^2} \cdot 30}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{12}}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OC,\,\,OD\) và cung nhỏ \(CD\) là \(\frac{{\pi {R^2}}}{{12}}\) (đvdt).

Đáp án: 62,8

Diện tích hình vành khuyên đó là: \(S = \pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 20\pi \approx 62,8{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).