Câu hỏi:

13/04/2026 11

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16.\)

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\)

c) Xét biểu thức \(P = \frac{A}{B}.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn \(P \le 4\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Với \(x = 16\), ta có \(A = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16} - 2}} = \frac{{19}}{2}\).

b) Với \(x > 0,\,\,x \ne 4\), ta có

\(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\).

c) Ta có \(P = \frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}\).

Do đó \(P \le 4\) khi \(\frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} \le 4\) suy ra \(\frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} - 4 \le 0\) hay \(\frac{{x + 3 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} \le 0\).

Do \(\sqrt x > 0\) nên để \(\frac{{x + 3 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} \le 0\) thì \(x + 3 - 4\sqrt x \le 0\).

Ta có \(x + 3 - 4\sqrt x = x - 4\sqrt x + 4 - 1 = {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} - 1\).

Do đó \(x + 3 - 4\sqrt x \le 0\) khi \({\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} - 1 \le 0\) suy ra \[ - 1 \le \;\sqrt x - 2 \le 1\] hay \[1 \le \;\sqrt x \le 3\] từ dó suy ra \[1 \le \;x \le 9\].

Vì \[x\] nguyên nên ta có \[x \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9} \right\}.\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một trường tổ chức cho giáo viên và học sinh có thành tích xuất sắc đi tham quan tại một địa điểm du lịch với giá vé vào cổng là \(150\,\,000\) đồng/ vé. Do đi theo đoàn đông người nên được giảm giá vé \(10\% \) cho mỗi giáo viên và \(20\% \) cho mỗi học sinh. Biết tổng số giáo viên và học sinh tham gia là \(10\) người và tổng số tiền mua vé là \(1\,\,230\,\,000\) đồng. Tính số giáo viên và số học sinh đi tham quan.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số giáo viên và học sinh đi tham quan lần lượt là \[x\] và \[y\] (người)
Điều kiện : \[x,y \in \mathbb{N};x,y > 0\].

Vì tổng số giáo viên và học sinh tham gia là \(10\) người nên \[x + y = 10\]. (1)

Giá tiền mỗi vé của giáo viên sau khi giảm là:

\(150\,\,000 - 150\,\,000.10\% = 135{\rm{ }}000\) (đồng)

Giá tiền mỗi vé của học sinh sau khi giảm là:

\(150\,\,000 - 150\,\,000.20\% = 120{\rm{ }}000\) (đồng)

Vì tổng số tiền mua vé là \(1\,\,230\,\,000\) đồng nên

\(135\,\,000x + 120\,\,000y = 1\,\,230\,\,000\) hay \(9x + 8y = 82\). (3)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 10\\9x + 8y = 82\end{array} \right.\).

Suy ra \[x = 2\,;y = 8\] (TMĐK).

Vậy có \[2\] giáo viên và \[8\] học sinh đi tham quan.

Câu 2

Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4x}}{{x - 4}}\) và \(B = \frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0, x \ne 4\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(B\) khi \(x = 196\).

b) Rút gọn biểu thức \(A\).

c) Xét biểu thức \(P = A:B\). So sánh \(P\) và \(\sqrt P \).

Xem đáp án

Lời giải

a) Thay \(x = 196\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\) vào biểu thức \(B\) ta được:

\[B = \frac{{4 \cdot \left( {\sqrt {196} + 2} \right)}}{{\sqrt {196} - 2}} = \frac{{4 \cdot \left( {14 + 2} \right)}}{{14 - 2}} = \frac{{4 \cdot 16}}{{12}} = \frac{{16}}{3}\].

Vậy với \(x = 196\) thì giá trị của biểu thức \[B = \frac{{16}}{3}\].

b) \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4x}}{{x - 4}}\) ĐKXĐ: \(x \ge 0, x \ne 4\)

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{4x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 4\sqrt x + 4 - x + 4\sqrt x - 4 + 4x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\]

\[ = \frac{{4x + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\].

Vậy với \(x \ge 0, x \ne 4\) thì \[A = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].

c) Với \(x \ge 0, x \ne 4,\) ta có

\(P = A:B\)\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\]\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x - 2}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\].

Với \(x \ge 0, x \ne 4\) thì \[\sqrt P \] luôn có nghĩa.

Xét hiệu: \[P - 1 = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - 1 = \frac{{\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x + 2}}\].

Ta thấy: \[ - 2 < 0\]; \[\sqrt x + 2 > 0\] với \(x \ge 0, x \ne 4\).

Khi đó \[\frac{{ - 2}}{{\sqrt x + 2}} < 0\] suy ra \[P - 1 < 0\] nên \[P < 1\] hay \[\sqrt P < 1\], do đó \[\sqrt P - 1 < 0\].

Mà \[\sqrt P \ge 0\] nên \[\sqrt P \left( {\sqrt P - 1} \right) \le 0\] suy ra \[P - \sqrt P \le 0\] hay \[P \le \sqrt P \].

Vậy với \(x \ge 0\,, \,x \ne 4\) thì \[P \le \sqrt P \].

Câu 3