Cho tứ diện đều \(SABC\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\), \(M\) là điểm di động trên đoạn \(AI\). Qua \(M\) vẽ mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với \(\left( {SIC} \right)\). Thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha  \right)\) với tứ diện \(SABC\) là.

Lời giải

Trả lời: 1.

Ta có \(S \in (SIK) \cap (SAC)\).

Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(E = IK \cap AC \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in IK \subset (SIK)}\\{E \in AC \subset (SAC)}\end{array} \Rightarrow E \in (SIK) \cap (SAC)} \right.\).

Suy ra \(SE = (SIK) \cap (SAC)\).

\({\rm{Ta c\'o  }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SIK) \cap (SBD)}\\{BD \subset (SBD),IK \subset (SIK) \Rightarrow (SIK) \cap (SBD) = Sx,({\rm{ }}Sx{\rm{//}}BD{\rm{//}}IK){\rm{. }}}\\{BD{\rm{//}}IK}\end{array}} \right.\)

Trong mp \((SBD)\), gọi \(F = Sx \cap DM \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in DM}\\{S \in Sx \subset (SIK)}\end{array} \Rightarrow F = DM \cap (SIK)} \right.\).

Ta có \(SF{\rm{//}}BD \Rightarrow \frac{{MF}}{{MD}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 1\).

Lời giải

Trả lời: \(3\).

Ta có: \(MN//DE\) nên bốn điểm \(M,N,D,E\) đồng phẳng.

Trong mặt phẳng \((MNED)\), gọi \(I = DM \cap NE \Rightarrow I \in AB,AB = (ABCD) \cap (ABEF)\),

khi đó: \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IN}}{{NE}}\).

Đặt \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}} = k\), ta có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = k(1) \Rightarrow \frac{{AC - MC}}{{AC}} = k \Rightarrow 1 - \frac{{MC}}{{AC}} = k \Rightarrow \frac{{MC}}{{AC}} = 1 - k(2).\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\); tương tự ta chứng minh được \(\frac{{BN}}{{FN}} = \frac{k}{{1 - k}}\).

Vì \(AB//CD\) nên \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IA}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\);

Vì \(AB//EF\) nên \(\frac{{IN}}{{NE}} = \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{k}{{1 - k}}\).

Mặt khác \(\frac{{AI}}{{DC}} + \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{AI}}{{FE}} + \frac{{BI}}{{EF}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{k}{{1 - k}} = 1\)

\( \Rightarrow 2k = 1 - k \Rightarrow k = \frac{1}{3}{\rm{. }}\)Suy ra \(a = 3\). Vậy với \(a = 3\) thì \(MN//DE\).