Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, có \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) và \(AD = 2BC\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] và \(\left( {SBC} \right)\).

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh \(OG\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\).

Lời giải

  \(VT = \sin \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2} = \sin \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right)\)\( = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2} = VP.\)

Lời giải

Gọi \(x\)(\(x\)>0) là số quả dưa hấu thu hoạch được đầu mùa của bác nông dân Mai An Tiêm.

Người khách hàng thứ nhất đã mua: \(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{x + 1}}{2}\) quả;

Người thứ 2 mua: \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 1}}{2}} \right) + \frac{1}{2} = \frac{{x + 1}}{{{2^2}}}\) quả;

Người khách hàng thứ 3 mua: \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 1}}{2} - \frac{{x + 1}}{{{2^2}}}} \right) + \frac{1}{2} = \frac{{x + 1}}{{{2^3}}}\)\(\) quả;.

…

và người khách hàng thứ 11 mua:  \(\frac{{x + 1}}{{{2^{11}}}}\) quả. Ta có phương trình:

\(\frac{{x + 1}}{2} + \frac{{x + 1}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{x + 1}}{{{2^{11}}}} = x\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{11}}}}} \right) = x\)(*)

Ta có \(\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{11}}}} = \frac{1}{2}\,\frac{{1 - \frac{1}{{{2^{11}}}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{2047}}{{2048}}\)

Do đó phương trình (*) \( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\frac{{2047}}{{2048}} = x \Leftrightarrow x = 2047\)

Số tiền bác ấy thu được là \(20.470.000\) đồng.