Cho \[\Delta MNP\] có \(I\) là trung điểm của \(NP\), trọng tâm G. Biết \(MG = 10\,\,{\rm{cm}}\), độ dài đoạn thẳng \(MI\) bằng

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Lấy N là trung điểm của cạnh AC, hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia NG lấy điểm K sao cho \(NK = NG\).

(a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH.\)

(b) Chứng minh \(CK \bot BC.\)

(c) Gọi I là giao điểm của KH và CG. Chứng minh I là trọng tâm của \(\Delta BCK.\)

(d) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\).

Cho đa thức \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) và \(9a + 2b > 0\). Chứng minh trong ba số \(P\left( 2 \right)\,;\,\,P\left( { - 1} \right)\,;\,\,P\left( { - 3} \right)\) có ít nhất một số dương.

Cho các đa thức:

\(P\left( x \right) = 3{x^5} + 5{x^3} - x - 9\)

\(K\left( x \right) = 7{x^5} + x - 3{x^2} - 8{x^3} - 4{x^5} + 3{x^2} + 5 + 5{x^3}\)

(a) Tìm hệ số cao nhất của đa thức \(P\left( x \right)\). Tính \(P\left( 1 \right).\)

(b) Tính \(P\left( x \right) + K\left( x \right).\)

(c) Tìm \(H\left( x \right)\) biết \(K\left( x \right) = H\left( x \right) + P\left( x \right).\)

Tìm nghiệm của các đa thức sau:

(a) \(A\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{3}x + 3\).

(b)\[B(x) = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {4{x^2} - 25} \right)\].

(c) \(C\left( x \right) = 27{x^5} + {x^2}\).

Rút gọn các biểu thức sau:

(a) \(A\left( x \right) = - 5x\left( {2{x^3} - 3{x^2} + x - 4} \right)\)

(b) \(B\left( x \right) = \left( {6{x^3} + 4{x^2} - 6x} \right):\left( {2x} \right) + \left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)\)

Kết quả của phép tính \(\frac{1}{6}{x^3}.{\left( { - 2x} \right)^2}\) là

Bạn An làm một chiếc hộp đựng quà hình lập phương có cạnh bằng 10 cm. Bỏ qua các mép gấp, diện tích giấy mà bạn An cần dùng là