Cho các đa thức:

\(P\left( x \right) = 3{x^5} + 5{x^3} - x - 9\)

\(K\left( x \right) = 7{x^5} + x - 3{x^2} - 8{x^3} - 4{x^5} + 3{x^2} + 5 + 5{x^3}\)

(a) Tìm hệ số cao nhất của đa thức \(P\left( x \right)\). Tính \(P\left( 1 \right).\)

(b) Tính \(P\left( x \right) + K\left( x \right).\)

(c) Tìm \(H\left( x \right)\) biết \(K\left( x \right) = H\left( x \right) + P\left( x \right).\)

a) Tam giác ABC cân tại A nên \(AB = AC\).

Ta có \(AH \bot BC\) nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Do đó \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Chứng minh \(\Delta AGN = \Delta CKN\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\)

Suy ra \(\widehat {AGN} = \widehat {CKN}\,\)(hai góc tương ứng).

Mà \[\widehat {AGN}\,;\,\,\widehat {CKN}\,\]là hai góc ở vị trí so le trong suy ra \(AG\,{\rm{//}}\,CK\)(dhnb) hay \(AH\,{\rm{//}}\,CK\)

Mà\(AH \bot BC\) nên \(CK \bot BC\)

c) Chứng minh được G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BN\) nên \(BG = 2GN\)(1)

Mà N là trung điểm của GK (do NK = NG) nên \(GK = 2GN\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BG = KG\).

Do đó G là trung điểm của BK.

Vậy I là trọng tâm của tam giác BCK.

d) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh \(GM < \frac{1}{4}(BC + AG)\).

Chứng minh được BK = 4GN và \(BK < BC + KC\)

Chứng minh được AG = KC; GM = GN nên \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\).

Ta có \(P\left( 2 \right) = 4a + 2b + c\,;\,\,P\left( { - 1} \right) = a - b + c\,;\,\,P\left( { - 3} \right) = 9a - 3b + c\)

\[2P\left( 2 \right) + P\left( { - 1} \right) + P\left( { - 3} \right) = 18a + 4b = 2\left( {9a + 2b} \right) > 0.\]

Giả sử cả ba số \(P\left( 2 \right)\,;\,\,P\left( { - 1} \right)\,;\,\,P\left( { - 3} \right)\) đều âm nên \[2P\left( 2 \right) + P\left( { - 1} \right) + {\rm{ }}P\left( { - 3} \right) < 0\] (vô lí)

Trong ba số \(P\left( 2 \right)\,;\,\,P\left( { - 1} \right)\,;\,\,P\left( { - 3} \right)\) có ít nhất một số dương.