Cho hai đa thức: \(P\left( x \right) = {x^2} + x - {x^4} + 6 + 3{x^3}\)        

\(Q\left( x \right) = 2{x^3} - 2{x^4} + {x^5} - 2x\)    

(a) Sắp xếp các đa thức \(P\left( x \right)\) và \(Q\left( x \right)\) theo luỹ thừa giảm dần của biến.

(b) Tính \[P\left( x \right) + Q\left( x \right)\,;{\rm{ }}P\left( x \right)-Q\left( x \right)\].

(c) Chứng tỏ \[x = 0\] không là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\) nhưng là nghiệm của đa thức \(Q\left( x \right)\).

a) Sắp xếp các đa thức \(P\left( x \right)\) và \(Q\left( x \right)\) theo luỹ thừa giảm dần của biến, ta được:

\(P\left( x \right) = {x^2} + x - {x^4} + 6 + 3{x^3} =  - {x^4} + 3{x^3} + {x^2} + x + 6.\)

\(Q\left( x \right) = 2{x^3} - 2{x^4} + {x^5} - 2x = {x^5} - 2{x^4} + 2{x^3} - 2x.\)

b) Ta có \[P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( { - {x^4} + 3{x^3} + {x^2} + x + 6} \right) + \left( {{x^5} - 2{x^4} + 2{x^3} - 2x} \right)\]

\[ =  - {x^4} + 3{x^3} + {x^2} + x + 6 + {x^5} - 2{x^4} + 2{x^3} - 2x\]

\[ = {x^5} - \left( {2{x^4} + {x^4}} \right) + \left( {3{x^3} + 2{x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x - 2x} \right) + 6\]

\[ = {x^5} - 3{x^4} + 5{x^3} + {x^2} - x + 6.\]

\[P\left( x \right)-Q\left( x \right) = \left( { - {x^4} + 3{x^3} + {x^2} + x + 6} \right) - \left( {{x^5} - 2{x^4} + 2{x^3} - 2x} \right)\].

\[ =  - {x^4} + 3{x^3} + {x^2} + x + 6 - {x^5} + 2{x^4} - 2{x^3} + 2x\]

\[ =  - {x^5} + \left( {2{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {3{x^3} - 2{x^3}} \right) + {x^2} + \left( {2x + x} \right) + 6\]

\[ =  - {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + 3x + 6.\]

c) Với \[x = 0\] ta có \(P\left( 0 \right) = 6\) nên \[x = 0\] không là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).

Với \[x = 0\] ta có \(Q\left( 0 \right) = 0\) nên \[x = 0\] là nghiệm của đa thức \(Q\left( x \right)\).

Vậy \[x = 0\] không là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\) nhưng là nghiệm của đa thức \(Q\left( x \right)\).