Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp mà không hoàn lại. Biết rằng bi đầu tiên lấy ra là bi đỏ, xác suất để bi thứ hai cũng là bi đỏ bằng bao nhiêu?

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}\) đi qua điểm \(A\left( {1;1;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

Vì \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( P \right)\\\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow u  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + 4c + 9 = 0\\2a - b + 2c = 0\end{array} \right.\) (1).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;0} \right),R = 3\) mà mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| 9 \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3\)\( \Leftrightarrow 9 = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 4c + 9 = 0\\2a - b + 2c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 - 2c\\b =  - 6 - 2c\\{\left( { - 3 - 2c} \right)^2} + {\left( { - 6 - 2c} \right)^2} + {c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 - 2c\\b =  - 6 - 2c\\9{c^2} + 36c + 36 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c =  - 2\end{array} \right.\). Vậy \(a + b + c =  - 3\).

Đáp án cần nhập là: −3.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5; - 20; - 4} \right),\overrightarrow {DC}  = \left( {5; - 20; - 4} \right)\), \(\overrightarrow {AD}  = \left( { - 30; - 15; - 3} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) nên \(ABCD\)là hình bình hành.

Có \(AB = 21;AD = 9\sqrt {14} \).

Có \(\cos \widehat {BAD} = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right|}} = \frac{{162}}{{21 \cdot 9\sqrt {14} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }}\).

Do đó \(\sin \widehat {BAD} = \frac{{5\sqrt {26} }}{{7\sqrt {14} }}\).

Diện tích bề mặt của khung hình tứ giác mà các Drone tạo ra trên không trung chính là diện tích hình bình hành \(ABCD\).

Có \({S_{ABCD}} = AB \cdot AD \cdot \sin \widehat {BAD} = 21 \cdot 9\sqrt {14}  \cdot \frac{{5\sqrt {26} }}{{7\sqrt {14} }} \approx 688\;{m^2}\).

Đáp án cần nhập là: 688.