Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + 9 = 0\left( {a,b,c \ne 0} \right)\). Biết rằng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính giá trị \(a + b + c.\)

Đáp án: ___

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}\) đi qua điểm \(A\left( {1;1;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

Vì \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( P \right)\\\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow u  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + 4c + 9 = 0\\2a - b + 2c = 0\end{array} \right.\) (1).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;0} \right),R = 3\) mà mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| 9 \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3\)\( \Leftrightarrow 9 = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 4c + 9 = 0\\2a - b + 2c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 - 2c\\b =  - 6 - 2c\\{\left( { - 3 - 2c} \right)^2} + {\left( { - 6 - 2c} \right)^2} + {c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 - 2c\\b =  - 6 - 2c\\9{c^2} + 36c + 36 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c =  - 2\end{array} \right.\). Vậy \(a + b + c =  - 3\).

Đáp án cần nhập là: −3.