Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + z - 25 = 0\). Một đường thẳng \(d'\) cắt trục \(Oz\) tại \(M\), cắt đường thẳng \(d\)tại điểm \(N\)và \(d'\) song song với \(\left( P \right)\). Độ dài nhỏ nhất của đoạn \(MN\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: _____

Đường thẳng \(d\)đi qua điểm \(K\left( {0;0;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;0;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {KA}  = \left( {0;6;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {KA}  \cdot \overrightarrow u  = 0 \Rightarrow AK \bot d\).

Do đó K là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng \(d\).

Có \(d \subset \left( P \right)\) và \(AH \bot \left( P \right)\) nên \(AH \bot HK\).

Lại có \(\overrightarrow {{n_P}}  \cdot \overrightarrow u  = 0\) nên hoành độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) bằng 0.

Do điểm \(A\) có hoành độ bằng 0 nên hình chiếu \(H\) của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) cũng phải có hoành độ bằng 0. Tức là điểm \(H\)nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có \(\widehat {AHK} = 90^\circ \) nên \(H\)luôn nằm trên đường tròn đường kính \(AK\).

Đường tròn này có tâm \(I\left( {0;3;4} \right)\)là trung điểm của \(AK\) và bán kính \(R = \frac{{AK}}{2} = 3\).

Do đó khoảng cách từ O đến H lớn nhất thì \(H\)là giao điểm của tia \(OI\) với đường tròn.

Ta có \(OI = 5\). Khi đó \(O{H_{\max }} = OI + R = 5 + 3 = 8\).

Đáp án cần nhập là: 8.

Gọi \(A\)là biến cố “Quả bóng lấy ra từ hộp I không chứa số 4 hoặc số 6”.

Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{8}{{10}}\).

Gọi \(B\)là biến cố “Quả bóng lấy ra từ hộp II không chứa số 4 hoặc số 6”. Khi đó \(P\left( B \right) = \frac{{10}}{{12}}\).

Khi đó \(AB\)là biến cố “Hai quả bóng lấy được không có quả bóng nào ghi số 4 hoặc ghi số 6”.

Xác suất cần tìm là \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{{80}}{{120}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(a = 2;b = 3\). Do đó \(a + b = 5\). Chọn B.