Cho AK và BM là hai trung tuyến của \(\Delta ABC\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {AB} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AK} \) và \(\overrightarrow {BM} \).

Lời giải

Chọn A.

Cách 1:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AK}  + \overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {AK}  + \overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AK}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BM} \) (vì \(KM =  - \frac{1}{2}AB\))

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {BM}  \Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {BM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {BM} } \right)\).

Cách 2: Giả sử có cặp số m, n sao cho \(\overrightarrow {AB}  = m\overrightarrow {AK}  + n\overrightarrow {BM} \).

Với \(G = AK \cap BM\) thì ta có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AK}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {BM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BG} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  = \frac{3}{2}m\overrightarrow {AG}  + \frac{3}{2}n\overrightarrow {BG}  \Leftrightarrow \left( {\frac{3}{2}m - 1} \right)\overrightarrow {AG}  = \left( { - \frac{3}{2}n - 1} \right)\overrightarrow {BG} \) (*)

Do \(\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {BG} \) không cùng phương nên (*) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2}m - 1 = 0\\ - \frac{3}{2}n - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\n =  - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {BM} } \right)\).