(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \left( {\frac{{8 - \sqrt x }}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}}} \right).\frac{{x - 3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x > 0,x \ne 9\).

1) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\).

3) Cho \(P = A.B\). Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P\) đạt giá trị là số nguyên.

a) Khi \(x = 4\) (TMĐK), giá trị của biểu thức \(A\) là:

\(A = \frac{{\sqrt 4  + 5}}{{\sqrt 4 }}\)\( = \frac{{2 + 5}}{2}\)\( = \frac{7}{2}\).

Vậy \(A = \frac{7}{2}\) khi \(x = 4\).

b) \(B = \left( {\frac{{8 - \sqrt x }}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}} \right).\frac{{x - 3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\)

\( = \frac{{8 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\sqrt x  + 2}}\)

\( = \frac{{8 - \sqrt x  + 2\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\sqrt x  + 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\)

c) \(P = A.B\)\( = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\)\( = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 3}}\)\( = \frac{{\sqrt x  + 3 + 2}}{{\sqrt x  + 3}}\)\( = 1 + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\)

• Với \(x > 0\) ta có \(\frac{2}{{\sqrt x  + 3}} > 0\) nên \(1 + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}} > 1\). Suy ra \(P > 1\) (1)

• Với \(x > 0\) ta có \(\sqrt x  + 3 > 3\) nên \(\frac{2}{{\sqrt x  + 3}} < \frac{2}{3}\) hay \(1 + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}} < \frac{5}{3}\). Suy ra \(P < \frac{5}{3}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(1 < P < \frac{5}{3}\).

Suy ra \(P\) không có giá trị nguyên với \(x > 0,x \ne 9\).

Vậy không có giá trị của \(x\) thoả mãn đề bài.