(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \left( {\frac{{8 - \sqrt x }}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}}} \right).\frac{{x - 3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x > 0,x \ne 9\).

1) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\).

3) Cho \(P = A.B\). Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P\) đạt giá trị là số nguyên.

a) Tính số ki-lô-mét mà ô tô đi được qua mỗi vòng chạy thử.

Quãng đường ô tô chạy thử mỗi vòng là:

\[S = 2\pi R \approx 2\;{\rm{.}}\;3.14\;{\rm{.}}\;500 = 3\,140\;\left( {\rm{m}} \right) = 3,14\;\left( {{\rm{km}}} \right)\]

Vậy quãng đường ô tô chạy thử mỗi vòng khoảng \[3,14\;{\rm{km}}\].

b) Ô tô xuất phát tại vị trí \(A\) và chạy theo chiều mũi tên được \[10{\rm{ km}}\] rồi dừng lại tại vị trí \(B\). Tính số đo góc \(AOB\) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Ta có \(10:\,3,14 = 3\frac{{29}}{{157}}\).

Do đó ô tô chạy được \[10{\rm{ km}}\] có nghĩa là chạy được khoảng \(3\) vòng và \(\frac{{29}}{{157}}\) vòng

Do đó, số đo góc \(AOB\) là: \(\frac{{29}}{{157}}\; \cdot \;360^\circ  \approx 66^\circ \).

Vậy số đo góc \(AOB\) khoảng \(66^\circ \).

Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt bỏ là \(x\left( {cm,\,\,x > 0} \right)\)

Khi đó, các kích thước của hình hộp là:

- Chiều dài: \(60 - 2x > 0\) \((cm)\)

- Chiều rộng: \(40 - 2x > 0\) \((\;cm)\).

Suy ra \(0 < x < 20\).

- Chiều cao: \(x\) \((cm)\)

 Diện tích thực tế Sau khi cắt 4 góc \({S_{thuc}} = 64 \cdot 40 - 4{x^2} = 2560 - 4{x^2}\)

Điều kiện chi phí: \({S_{{\rm{thuc }}}} \cdot 2\,\,500 \le 4\,\,440\,\,000\)

\(2560 - 4{x^2} \le \frac{{4.440.000}}{{2500}} = 1776\)

\( - 4{x^2} \le 1776 - 2560 =  - 784\)

\({x^2} \ge 196\)

\( \Rightarrow x \ge 14\;{\rm{cm}}\). Do đó \(14 \le x < 20\).

Thể tích hộp là

\(V(x) = x\left( {64 - 2x} \right)\left( {40 - 2x} \right)\)\( = 4{x^3} - 208{x^2} + 2560x\)\( = 4\left( {{x^3} - 52{x^2} + 640x} \right)\)

Xét \(V\left( x \right) - 6048\)\( = 4\left( {x - 14} \right)\left( {{x^2} - 38x + 108} \right)\)

Ta có \({x^2} - 38x + 108\)\( = x\left( {x - 20} \right) - 18x + 108 < 0 - 18 \cdot 14 + 108\)\( =  - 144 < 0\)

Do đó \(V\left( x \right) - 6048 \le 0\) nên \(V\left( x \right) \le 6048\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 14\).

Vậy kích thước cạnh hình vuông phải chọn để thể tích hộp lớn nhất trong điều kiện chi phí không vượt quá số tiền cho phép là \(14\;{\rm{cm}}\). Thể tích lớn nhất đó là \(V\left( x \right) = 6\,\,048\,c{m^3}\).