(0,5 điểm) Một tấm kim loại hình chữ nhật có chiều dài \[64{\rm{ }}cm\] và chiều rộng \[40{\rm{ }}cm\]. Đan cắt ở bốn góc của tấm kim loại bốn hình vuông có cạnh bằng nhau để gập thành một chiếc hộp không nắp. Giá kim loại đó là \[2\,\,500\] đồng \(/{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\). Đan chỉ có \[4\,\,440\,\,000\] đồng để mua. Hỏi kích thước cạnh hình vuông phải chọn để thể tích hộp lớn nhất trong điều kiện chi phí không vượt quá số tiền cho phép. Thể tích lớn nhất đó là bao nhiêu?

Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt bỏ là \(x\left( {cm,\,\,x > 0} \right)\)

Khi đó, các kích thước của hình hộp là:

- Chiều dài: \(60 - 2x > 0\) \((cm)\)

- Chiều rộng: \(40 - 2x > 0\) \((\;cm)\).

Suy ra \(0 < x < 20\).

- Chiều cao: \(x\) \((cm)\)

 Diện tích thực tế Sau khi cắt 4 góc \({S_{thuc}} = 64 \cdot 40 - 4{x^2} = 2560 - 4{x^2}\)

Điều kiện chi phí: \({S_{{\rm{thuc }}}} \cdot 2\,\,500 \le 4\,\,440\,\,000\)

\(2560 - 4{x^2} \le \frac{{4.440.000}}{{2500}} = 1776\)

\( - 4{x^2} \le 1776 - 2560 =  - 784\)

\({x^2} \ge 196\)

\( \Rightarrow x \ge 14\;{\rm{cm}}\). Do đó \(14 \le x < 20\).

Thể tích hộp là

\(V(x) = x\left( {64 - 2x} \right)\left( {40 - 2x} \right)\)\( = 4{x^3} - 208{x^2} + 2560x\)\( = 4\left( {{x^3} - 52{x^2} + 640x} \right)\)

Xét \(V\left( x \right) - 6048\)\( = 4\left( {x - 14} \right)\left( {{x^2} - 38x + 108} \right)\)

Ta có \({x^2} - 38x + 108\)\( = x\left( {x - 20} \right) - 18x + 108 < 0 - 18 \cdot 14 + 108\)\( =  - 144 < 0\)

Do đó \(V\left( x \right) - 6048 \le 0\) nên \(V\left( x \right) \le 6048\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 14\).

Vậy kích thước cạnh hình vuông phải chọn để thể tích hộp lớn nhất trong điều kiện chi phí không vượt quá số tiền cho phép là \(14\;{\rm{cm}}\). Thể tích lớn nhất đó là \(V\left( x \right) = 6\,\,048\,c{m^3}\).