(2,5 điểm)

Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường, thầy giáo đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném \(15\) quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng \(2\) điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ \(1\) điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ \(15\) điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phái ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?

a) Tính số ki-lô-mét mà ô tô đi được qua mỗi vòng chạy thử.

Quãng đường ô tô chạy thử mỗi vòng là:

\[S = 2\pi R \approx 2\;{\rm{.}}\;3.14\;{\rm{.}}\;500 = 3\,140\;\left( {\rm{m}} \right) = 3,14\;\left( {{\rm{km}}} \right)\]

Vậy quãng đường ô tô chạy thử mỗi vòng khoảng \[3,14\;{\rm{km}}\].

b) Ô tô xuất phát tại vị trí \(A\) và chạy theo chiều mũi tên được \[10{\rm{ km}}\] rồi dừng lại tại vị trí \(B\). Tính số đo góc \(AOB\) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Ta có \(10:\,3,14 = 3\frac{{29}}{{157}}\).

Do đó ô tô chạy được \[10{\rm{ km}}\] có nghĩa là chạy được khoảng \(3\) vòng và \(\frac{{29}}{{157}}\) vòng

Do đó, số đo góc \(AOB\) là: \(\frac{{29}}{{157}}\; \cdot \;360^\circ  \approx 66^\circ \).

Vậy số đo góc \(AOB\) khoảng \(66^\circ \).

Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt bỏ là \(x\left( {cm,\,\,x > 0} \right)\)

Khi đó, các kích thước của hình hộp là:

- Chiều dài: \(60 - 2x > 0\) \((cm)\)

- Chiều rộng: \(40 - 2x > 0\) \((\;cm)\).

Suy ra \(0 < x < 20\).

- Chiều cao: \(x\) \((cm)\)

 Diện tích thực tế Sau khi cắt 4 góc \({S_{thuc}} = 64 \cdot 40 - 4{x^2} = 2560 - 4{x^2}\)

Điều kiện chi phí: \({S_{{\rm{thuc }}}} \cdot 2\,\,500 \le 4\,\,440\,\,000\)

\(2560 - 4{x^2} \le \frac{{4.440.000}}{{2500}} = 1776\)

\( - 4{x^2} \le 1776 - 2560 =  - 784\)

\({x^2} \ge 196\)

\( \Rightarrow x \ge 14\;{\rm{cm}}\). Do đó \(14 \le x < 20\).

Thể tích hộp là

\(V(x) = x\left( {64 - 2x} \right)\left( {40 - 2x} \right)\)\( = 4{x^3} - 208{x^2} + 2560x\)\( = 4\left( {{x^3} - 52{x^2} + 640x} \right)\)

Xét \(V\left( x \right) - 6048\)\( = 4\left( {x - 14} \right)\left( {{x^2} - 38x + 108} \right)\)

Ta có \({x^2} - 38x + 108\)\( = x\left( {x - 20} \right) - 18x + 108 < 0 - 18 \cdot 14 + 108\)\( =  - 144 < 0\)

Do đó \(V\left( x \right) - 6048 \le 0\) nên \(V\left( x \right) \le 6048\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 14\).

Vậy kích thước cạnh hình vuông phải chọn để thể tích hộp lớn nhất trong điều kiện chi phí không vượt quá số tiền cho phép là \(14\;{\rm{cm}}\). Thể tích lớn nhất đó là \(V\left( x \right) = 6\,\,048\,c{m^3}\).