(1,5 điểm):

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{x - 4\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 36.\)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}.\)

3) Đặt \(M = A \cdot B.\) Tìm tất cả các giá trị \(x\) để \(M\) nhận giá trị nguyên.

1) Với \(x = 36\) (TMĐK), thay \(x = 36\) vào biểu thức \(A\), ta được: \(A = \frac{{2\sqrt {36}  + 5}}{{\sqrt {36} }} = \frac{{2 \cdot 6 + 5}}{6} = \frac{{17}}{6}.\)

Vậy khi \(x = 36\) thì \(A = \frac{{17}}{6}.\)

2) Với \(x > 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:

\(B = \frac{{x - 4\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}\)\( = \frac{{x - 4\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

\( = \frac{{x - 4\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 4\sqrt x  + 1 + 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) + \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}.\]

Vậy với \(x > 0,\,\,x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}.\)

3) Ta có \[M = A \cdot B = \frac{{2\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2\sqrt x  + 2 + 3}}{{\sqrt x  + 1}} = 2 + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}}.\]

Vì \[x > 0\] nên \[\sqrt x  > 0\] suy ra \[\sqrt x  + 1 > 1\].

Khi đó \[0 < \frac{1}{{\sqrt x  + 1}} < 1\] hay \[0 < \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} < 3\] nên \[2 < M < 5.\]

Để \(M\) nhận giá trị nguyên thì \(M \in \left\{ {3\,;\,\,4} \right\}.\)

Vậy các giá trị của \(x\) để \(M\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {\frac{1}{4};\,\,4} \right\}.\)