(1,5 điểm):

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{x - 4\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 36.\)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}.\)

3) Đặt \(M = A \cdot B.\) Tìm tất cả các giá trị \(x\) để \(M\) nhận giá trị nguyên.

Gọi số tiền lớp 6D ủng hộ là \(x\)(triệu đồng), điều kiện \((x \ge 2).\)

Số tiền ủng hộ  lớp 6C là: \(1,1x\).(triệu đồng)

Số tiền ủng hộ  lớp 6B là: \(1,25 \cdot 1,1x = 1,375x\)(triệu đồng)

Số tiền ủng hộ  lớp 6A là: \(1,8 \cdot 1,375x = 2,475x\)(triệu đồng)

Số tiền ủng hộ  lớp 6E bằng nghịch đảo số tiền lớp 6D nên số tiền ủng hộ lớp 6E là \(\frac{1}{x}\)(triệu đồng)

Tổng số tiền khối 6 là: \(2,475x + 1,375x + 1,1x + x + \frac{1}{x} = 5,95x + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} + 4,95x\)

Với mọi \(x \ge 2\) ta có:\(\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} ;\frac{{3x}}{4} \ge \frac{3}{4}.2\)

Suy ra \(\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right) + \frac{{3x}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}  + \frac{3}{4}.2\) hay \(x + \frac{1}{x} \ge \frac{5}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\).

Vậy \(x + \frac{1}{x} + 4,95x \ge 4,95.2 + \frac{5}{2} = 12,4\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\).

Kết luận vậy khối 6 ủng hộ được ít nhất là \(12,4\) triệu đồng.

Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) là vận tốc của ô tô thứ nhất \(\left( {x > 15\,,\,\,x \in \mathbb{N}*} \right).\)

Khi đó vận tốc của ô tô thứ hai là \(x - 15\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Đổi 30 phút \( = \frac{1}{2}\) giờ.

Thời gian ô tô thứ nhất đi từ A đến B là \(\frac{{150}}{x}\) (giờ).

Thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là \(\frac{{150}}{{x - 15}}\) (giờ).

Theo đề bài, ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai 30 phút nên ta có phương trình

\(\frac{{150}}{{x - 15}} - \frac{{150}}{x} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{2 \cdot 150x}}{{2x\left( {x - 15} \right)}} - \frac{{2 \cdot 150\left( {x - 15} \right)}}{{2x\left( {x - 15} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 15} \right)}}{{2x\left( {x - 15} \right)}}\)

\(300x - 300\left( {x - 15} \right) = x\left( {x - 15} \right)\)

\[300x - 300x + 4500 = {x^2} - 15x\]

\[{x^2} - 15x - 4500 = 0\]

\[\left( {x - 75} \right)\left( {x + 60} \right) = 0\]

\[x - 75 = 0\] hoặc \[x + 60 = 0\]

\[x = 75\] (TMĐK) hoặc \[x =  - 60\] (loại).

Khi đó, vận tốc của ô tô thứ hai là \[75 - 15 = 60\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right).\]

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là \[75\,\,{\rm{km/h}}\,{\rm{;}}\] vận tốc của ô tô thứ hai là \[60\,\,{\rm{km/h}}\,.\]