(4 điểm):

Một gia đình xây một bồn cây hình tròn có bán kính \[OA\] là \[15m\]. Phần quạt tròn \[AOB\] (tô màu) với \[\widehat {AOB} = 120^\circ \] được dùng để trồng hoa. Phần còn lại của đường tròn (phần không tô màu) dùng để lát gạch.

a) Chủ nhà làm hàng rào xung quanh phần trồng hoa (cung tròn \[AB\], 2 bán kính \[OA,OB\]), tính chiều dài hàng rào.

b) Tính diện tích phần lát gạch. (Biết \(\pi  \approx 3,14\)).

 

Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) là vận tốc của ô tô thứ nhất \(\left( {x > 15\,,\,\,x \in \mathbb{N}*} \right).\)

Khi đó vận tốc của ô tô thứ hai là \(x - 15\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Đổi 30 phút \( = \frac{1}{2}\) giờ.

Thời gian ô tô thứ nhất đi từ A đến B là \(\frac{{150}}{x}\) (giờ).

Thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là \(\frac{{150}}{{x - 15}}\) (giờ).

Theo đề bài, ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai 30 phút nên ta có phương trình

\(\frac{{150}}{{x - 15}} - \frac{{150}}{x} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{2 \cdot 150x}}{{2x\left( {x - 15} \right)}} - \frac{{2 \cdot 150\left( {x - 15} \right)}}{{2x\left( {x - 15} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 15} \right)}}{{2x\left( {x - 15} \right)}}\)

\(300x - 300\left( {x - 15} \right) = x\left( {x - 15} \right)\)

\[300x - 300x + 4500 = {x^2} - 15x\]

\[{x^2} - 15x - 4500 = 0\]

\[\left( {x - 75} \right)\left( {x + 60} \right) = 0\]

\[x - 75 = 0\] hoặc \[x + 60 = 0\]

\[x = 75\] (TMĐK) hoặc \[x =  - 60\] (loại).

Khi đó, vận tốc của ô tô thứ hai là \[75 - 15 = 60\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right).\]

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là \[75\,\,{\rm{km/h}}\,{\rm{;}}\] vận tốc của ô tô thứ hai là \[60\,\,{\rm{km/h}}\,.\]

Gọi số tiền lớp 6D ủng hộ là \(x\)(triệu đồng), điều kiện \((x \ge 2).\)

Số tiền ủng hộ  lớp 6C là: \(1,1x\).(triệu đồng)

Số tiền ủng hộ  lớp 6B là: \(1,25 \cdot 1,1x = 1,375x\)(triệu đồng)

Số tiền ủng hộ  lớp 6A là: \(1,8 \cdot 1,375x = 2,475x\)(triệu đồng)

Số tiền ủng hộ  lớp 6E bằng nghịch đảo số tiền lớp 6D nên số tiền ủng hộ lớp 6E là \(\frac{1}{x}\)(triệu đồng)

Tổng số tiền khối 6 là: \(2,475x + 1,375x + 1,1x + x + \frac{1}{x} = 5,95x + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} + 4,95x\)

Với mọi \(x \ge 2\) ta có:\(\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} ;\frac{{3x}}{4} \ge \frac{3}{4}.2\)

Suy ra \(\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right) + \frac{{3x}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}  + \frac{3}{4}.2\) hay \(x + \frac{1}{x} \ge \frac{5}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\).

Vậy \(x + \frac{1}{x} + 4,95x \ge 4,95.2 + \frac{5}{2} = 12,4\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\).

Kết luận vậy khối 6 ủng hộ được ít nhất là \(12,4\) triệu đồng.