(4,0 điểm).

Một chiếc quạt giấy có hình dạng là một hình quạt tròn bán kính \(20\,\,{\rm{cm}}\) gồm hai phần. Phần thứ nhất là phần lấy gió được dán giấy, phần còn lại là phần để cầm tay (không dán) có bán kính \(5\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{.}}\) Góc mở lớn nhất khi quạt mở hết cỡ là \(150^\circ \).

a) Tính diện tích bề mặt cả chiếc quạt khi mở hết cỡ.

b) Tính diện tích giấy dán để làm 10 chiếc quạt như trên biết rằng mỗi chiếc quạt được dán giấy cả hai mặt. Bỏ qua mép dán. (Lấy \(\pi  \approx 3,14\), làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đổi \(24\) phút \( = 0,4\) giờ.

Gọi vận tốc xe thứ hai là \(x\) (km/h), với \(x > 0\).

Vận tốc xe thứ nhất là: \(x + 10\) (km/h).

Vì quãng đường là như nhau và xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 24 phút nên ta có pt:

 \(\frac{{80}}{x} - \frac{{80}}{{x + 10}} = 0,4\)

\(\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = 1\)

\(200\left( {x + 10} \right) - 200x = x\left( {x + 10} \right)\)
\(2000 = {x^2} + 10x\)

\({x^2} + 10x - 2000 = 0\)

\(\left( {x - 40} \right)\left( {x + 50} \right) = 0\).

\(x = 40\,\,{\rm{(TM)}}\) hoặc \(x =  - 50\) (loại).

Vậy vận tốc của xe thứ hai là 40 km/h.

a) Thay \[x = \frac{9}{{16}}\] (thỏa mãn) vào \(A\) ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{{16}}}  + 4}}{{\sqrt {\frac{9}{{16}}}  + 1}} = \frac{{\frac{3}{4} + 4}}{{\frac{3}{4} + 1}} = \frac{{19}}{4}:\frac{7}{4} = \frac{{19}}{7}\)

Vậy \[x = \frac{9}{{16}}\] thì \(A = \frac{{19}}{7}\).

b) \[B = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} - \frac{x}{{x - 16}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}} - \frac{x}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}} \right]\left( {\frac{{\sqrt x  + 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\]

\[ = \frac{{x + 4\sqrt x  - 2\sqrt x  - 8 + x - 4\sqrt x  - x}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[ = \frac{{x - 2\sqrt x  - 8}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[ = \frac{{x - 4\sqrt x  + 2\sqrt x  - 8}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right) + 2\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{2}{{\sqrt x  + 4}}\].

c) \(P = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 1}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 4}} = \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\)

Khi đó \(\frac{{{p^2}}}{4} = \frac{1}{4}.{\left( {\frac{2}{{\sqrt x  + 1}}} \right)^2} = \frac{1}{4}.\frac{4}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}\)

Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x  + 1 > 1\) Suy ra \({\left( {\sqrt x  + 1} \right)^2} > 1\)

Do đó \(0 < \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} < 1\)

Vậy \(\frac{{{P^2}}}{4}\) không có giá trị là số nguyên.