Bác An mua hai mặt hàng và phải trả tổng cộng \(1\,\,650\,\,000\) đồng, trong đó đã tính \(150\,\,000\) đồng tiền thuế giá trị gia tăng (viết tắt là VAT). Biết rằng thuế VAT của mặt hàng thứ nhất là \(12\% \), thuế VAT của mặt hàng thứ hai là \(9\% \) . Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bác An phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

a) Xét \(\Delta BEC\) có: \[\widehat {BEC} = 90^\circ \,\left( {BE \bot AC} \right)\] nên \(B\); \(C\); \(E\) thuộc đường tròn đường kính\(BC\).

Xét \(\Delta BFC\) có: \[\widehat {BFC} = 90^\circ \,\left( {CF \bot AB} \right)\] nên \(B\); \[F\]; \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Suy ra bốn điểm \(B\); \(F\); \(E\); \(C\)  cùng thuộc đường tròn đường kính\(BC\)

b) \(MF\,.\,ME = MB\,.\,MC\)

  \(MB\,.\,MC = MK\,.\,MA\)

Suy ra: \[ME\,.\,MF = MK\,.\,MA\]

Suy ra: \(\Delta MFA \sim \Delta MKE\)

c) Xét \(\Delta ABC\) có

\(BE\); \(CF\) là hai đường cao cắt nhau tại \(H\)

Suy ra \(H\)là trực tâm\(\Delta ABC\)

suy ra bốn điểm \(B,\)\(F\), \(D\), \(H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BH\)

Suy ra \(\widehat {HFD} = \widehat {HBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HD\))

Xét đường tròn đường kính\(BC\)có\(\widehat {EFC} = \widehat {EBC}\)

Khi đó \[FC\] là tia phân giác \[\widehat {EFD}\].

Có \[\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Có \[\widehat {BFD} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Suy ra  \[\widehat {MFB} = \widehat {BFD}\]

Suy ra \[FB\] là phân giác trong tại đỉnh \[F\] của tam giác \[FMD\]

Mà \[FC\] là phân giác ngoài tại đỉnh \[F\] tam giác \[FMD\]

Suy ra \(\frac{{CD}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{BM}}\)  nên\(\frac{{BM}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{CD}}\)

Áp dụng hệ quả định lý Talet có: \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BP}}{{AC}};\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\). Vậy \[BP = BQ\].

Chứng minh được  \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

\({S_{AMN}} = \)\[60 + 6x + \frac{{150}}{x} \ge 60 + 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} \]=120

Dấu “=” xảy ra khi   \[6x = \frac{{150}}{x}\].

\[{x^2} = 25\]

\[x =  \pm 5\]

Mà \(x > 0\) nên \(x = 5\)

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao\(AMN\) mà anh Thịnh có thể quây được là \(120{m^2}\).