Cho \(\Delta ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\). Đường cao\(BE,\,CF\)cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh bốn điểm \(B\), \(F\), \(E\), \(C\)cùng thuộc một đường tròn.
b) Tia \[{\rm{EF}}\] cắt tia \[CB\] tại \[M\]. Gọi \[K\] là giao điểm của\[MA\] và đường tròn \((O)\). Chứng minh \(MF\,.\,ME = MB\,.\,MC\)và \(\Delta MFA\)∽\(\Delta MKE\).
c) Tia \(AH\)cắt \(BC\)tại \(D\). Đường thẳng qua \(B\)và song song với \(AC\), cắt tia \(AD\) tại \(P\), cắt đoạn thẳng \(AM\)tại \(Q\). Chứng minh \(BP = BQ\).
Cho \(\Delta ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\). Đường cao\(BE,\,CF\)cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh bốn điểm \(B\), \(F\), \(E\), \(C\)cùng thuộc một đường tròn.
b) Tia \[{\rm{EF}}\] cắt tia \[CB\] tại \[M\]. Gọi \[K\] là giao điểm của\[MA\] và đường tròn \((O)\). Chứng minh \(MF\,.\,ME = MB\,.\,MC\)và \(\Delta MFA\)∽\(\Delta MKE\).
c) Tia \(AH\)cắt \(BC\)tại \(D\). Đường thẳng qua \(B\)và song song với \(AC\), cắt tia \(AD\) tại \(P\), cắt đoạn thẳng \(AM\)tại \(Q\). Chứng minh \(BP = BQ\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Hà Nội !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét \(\Delta BEC\) có: \[\widehat {BEC} = 90^\circ \,\left( {BE \bot AC} \right)\] nên \(B\); \(C\); \(E\) thuộc đường tròn đường kính\(BC\).
Xét \(\Delta BFC\) có: \[\widehat {BFC} = 90^\circ \,\left( {CF \bot AB} \right)\] nên \(B\); \[F\]; \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).
Suy ra bốn điểm \(B\); \(F\); \(E\); \(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính\(BC\)
b) \(MF\,.\,ME = MB\,.\,MC\)
\(MB\,.\,MC = MK\,.\,MA\)
Suy ra: \[ME\,.\,MF = MK\,.\,MA\]
Suy ra: \(\Delta MFA \sim \Delta MKE\)
c) Xét \(\Delta ABC\) có
\(BE\); \(CF\) là hai đường cao cắt nhau tại \(H\)
Suy ra \(H\)là trực tâm\(\Delta ABC\)
suy ra bốn điểm \(B,\)\(F\), \(D\), \(H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BH\)
Suy ra \(\widehat {HFD} = \widehat {HBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HD\))
Xét đường tròn đường kính\(BC\)có\(\widehat {EFC} = \widehat {EBC}\)
Khi đó \[FC\] là tia phân giác \[\widehat {EFD}\].
Có \[\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])
Có \[\widehat {BFD} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])
Suy ra \[\widehat {MFB} = \widehat {BFD}\]
Suy ra \[FB\] là phân giác trong tại đỉnh \[F\] của tam giác \[FMD\]
Mà \[FC\] là phân giác ngoài tại đỉnh \[F\] tam giác \[FMD\]
Suy ra \(\frac{{CD}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{BM}}\) nên\(\frac{{BM}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{CD}}\)
Áp dụng hệ quả định lý Talet có: \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BP}}{{AC}};\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\)
Suy ra \(\frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\). Vậy \[BP = BQ\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chứng minh được \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).
Dấu “=” xảy ra khi a = b.
\({S_{AMN}} = \)\[60 + 6x + \frac{{150}}{x} \ge 60 + 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} \]=120
Dấu “=” xảy ra khi \[6x = \frac{{150}}{x}\].
\[{x^2} = 25\]
\[x = \pm 5\]
Mà \(x > 0\) nên \(x = 5\)
Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao\(AMN\) mà anh Thịnh có thể quây được là \(120{m^2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi số sản phẩm mỗi giờ người công nhân đó dự định làm là \(x\) , sản phẩm (\(x \in {\mathbb{N}^*}\) )
số sản phẩm mỗi giờ người công nhân đó làm thực tế là \(x + 2\) , sản phẩm
Thời gian dự định là \(\frac{{60}}{x}\) , giờ.
Thời gian thực tế là \(\frac{{60 + 3}}{{x + 2}}\), giờ.
Vì vậy người công nhân đã hoàn thành sớm hơn dự định \(30\) phút, nên ta có phương trình
\(\frac{{60}}{x} - \frac{{63}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}\)
\({x^2} + 8x - 240 = 0\)
Giải phương trình ta được \(x = 12\)( TM) và \(x = - 20\) ( loại)
Vậy số sản phẩm mỗi giờ người công nhân đó dự định làm là \(12\) sản phẩm.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập