Nhà anh Minh có một cái ao nuôi cá hình chữ nhật \(ABCD\), đợt này vừa có một loại cá giống mới nên anh đã giăng lưới quây lại để nuôi thử nghiệm trên một góc ao của mình. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí \(M\) ở bờ \(AB\) đến một vị trí \(N\) ở bờ \(AD\) và phải đi qua một cái cọc cố định đã cắm sẵn ở vị trí \(E\). Biết khoảng cách \(EH\) và \(EQ\) từ cọc \(E\) đến bờ \(AB,AD\) lần lượt là \(5\) m và \(12\) m. Hỏi diện tích nhỏ nhất của phần góc ao \(AMN\) mà anh Minh có thể quây được là bao nhiêu?

a) Xét \(\Delta BEC\) có: \[\widehat {BEC} = 90^\circ \,\left( {BE \bot AC} \right)\] nên \(B\); \(C\); \(E\) thuộc đường tròn đường kính\(BC\).

Xét \(\Delta BFC\) có: \[\widehat {BFC} = 90^\circ \,\left( {CF \bot AB} \right)\] nên \(B\); \[F\]; \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Suy ra bốn điểm \(B\); \(F\); \(E\); \(C\)  cùng thuộc đường tròn đường kính\(BC\)

b) \(MF\,.\,ME = MB\,.\,MC\)

  \(MB\,.\,MC = MK\,.\,MA\)

Suy ra: \[ME\,.\,MF = MK\,.\,MA\]

Suy ra: \(\Delta MFA \sim \Delta MKE\)

c) Xét \(\Delta ABC\) có

\(BE\); \(CF\) là hai đường cao cắt nhau tại \(H\)

Suy ra \(H\)là trực tâm\(\Delta ABC\)

suy ra bốn điểm \(B,\)\(F\), \(D\), \(H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BH\)

Suy ra \(\widehat {HFD} = \widehat {HBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HD\))

Xét đường tròn đường kính\(BC\)có\(\widehat {EFC} = \widehat {EBC}\)

Khi đó \[FC\] là tia phân giác \[\widehat {EFD}\].

Có \[\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Có \[\widehat {BFD} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Suy ra  \[\widehat {MFB} = \widehat {BFD}\]

Suy ra \[FB\] là phân giác trong tại đỉnh \[F\] của tam giác \[FMD\]

Mà \[FC\] là phân giác ngoài tại đỉnh \[F\] tam giác \[FMD\]

Suy ra \(\frac{{CD}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{BM}}\)  nên\(\frac{{BM}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{CD}}\)

Áp dụng hệ quả định lý Talet có: \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BP}}{{AC}};\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\). Vậy \[BP = BQ\].

Số tiền bác An trả hai mặt hàng không có thuế là

\(1\,\,650\,\,000 - 150\,\,000 = 1\,\,500\,\,000\) đồng =  \(1,5\)triệu.

Gọi giá tiền của mặt hàng thứ nhất là \(x\) , triệu ( \(x > 0\) )

Giá tiền của mặt hàng thứ hai là \(1,5 - x\) , triệu 

Tiền thuế của mặt hàng thứ nhất là \(12\% x = 0,12x\) , triệu

Tiền thuế của mặt hàng thứ hai là \(9\% \left( {1,5 - x} \right) = 0,09\left( {1,5 - x} \right)\) , triệu 

Vì phải trả \(150\,\,000\)đồng = \(0,15\) triệu tiền thuế của cả hai mặt hàng, nên ta có phương trình  \(0,12x + 0,09\left( {1,5 - x} \right) = 0,15\)

Giải phương trình ta được \(x = 0,5\)( TM)

Vậy nếu không kể thuế VAT thì bác An phải trả \(0,5\) triệu và \(1\) triệu.