Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành \(60\) sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm được \(2\) sản phẩm. Vì vậy, chẳng những người công nhân đã hoàn thành sớm hơn dự định \(30\) phút mà còn vượt mức \(3\) sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân đó đã làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả sử số sản phẩm người đó làm được trong mỗi giờ là bằng nhau).

a) Xét \(\Delta BEC\) có: \[\widehat {BEC} = 90^\circ \,\left( {BE \bot AC} \right)\] nên \(B\); \(C\); \(E\) thuộc đường tròn đường kính\(BC\).

Xét \(\Delta BFC\) có: \[\widehat {BFC} = 90^\circ \,\left( {CF \bot AB} \right)\] nên \(B\); \[F\]; \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Suy ra bốn điểm \(B\); \(F\); \(E\); \(C\)  cùng thuộc đường tròn đường kính\(BC\)

b) \(MF\,.\,ME = MB\,.\,MC\)

  \(MB\,.\,MC = MK\,.\,MA\)

Suy ra: \[ME\,.\,MF = MK\,.\,MA\]

Suy ra: \(\Delta MFA \sim \Delta MKE\)

c) Xét \(\Delta ABC\) có

\(BE\); \(CF\) là hai đường cao cắt nhau tại \(H\)

Suy ra \(H\)là trực tâm\(\Delta ABC\)

suy ra bốn điểm \(B,\)\(F\), \(D\), \(H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BH\)

Suy ra \(\widehat {HFD} = \widehat {HBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HD\))

Xét đường tròn đường kính\(BC\)có\(\widehat {EFC} = \widehat {EBC}\)

Khi đó \[FC\] là tia phân giác \[\widehat {EFD}\].

Có \[\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Có \[\widehat {BFD} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Suy ra  \[\widehat {MFB} = \widehat {BFD}\]

Suy ra \[FB\] là phân giác trong tại đỉnh \[F\] của tam giác \[FMD\]

Mà \[FC\] là phân giác ngoài tại đỉnh \[F\] tam giác \[FMD\]

Suy ra \(\frac{{CD}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{BM}}\)  nên\(\frac{{BM}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{CD}}\)

Áp dụng hệ quả định lý Talet có: \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BP}}{{AC}};\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\). Vậy \[BP = BQ\].

Chứng minh được  \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

\({S_{AMN}} = \)\[60 + 6x + \frac{{150}}{x} \ge 60 + 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} \]=120

Dấu “=” xảy ra khi   \[6x = \frac{{150}}{x}\].

\[{x^2} = 25\]

\[x =  \pm 5\]

Mà \(x > 0\) nên \(x = 5\)

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao\(AMN\) mà anh Thịnh có thể quây được là \(120{m^2}\).