Hai chiếc tàu thủy \(P\) và \(Q\) trên biển cách nhau \(100\;\,{\rm{m}}\) và thẳng hàng với chân \(A\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bờ biển. Từ \(P\) và \(Q\) người ta nhìn chiều cao \(AB\) của tháp dưới các góc \(\widehat {BPA} = 15^\circ \) và \(\widehat {BQA} = 55^\circ \). Tính chiều cao của tháp (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Một chất điểm A chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1},} \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) như hình vẽ biết chất điểm \(A\) đang ở trạng thái cân bằng. Độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng bao nhiêu Newton biết rằng lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn 12 N (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Để kéo dây điện từ cột điện vào nhà phải qua một cái ao, anh Nam không thể đo độ dài dây điện cần mua trực tiếp được nên đã làm như sau: Lấy một điểm \(B\) như trong hình, người ta đo được độ dài từ \(B\) đến \(A\) (nhà) là \(15\;{\rm{m}}\), từ \(B\) đến \(C\) (cột điện) là \(18{\rm{\;m}}\) và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Độ dài dây điện nối từ nhà ra đến cột điện bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Từ một miếng bìa hình tròn, bạn Nam cắt ra một hình tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh \[AB = 4\;{\rm{cm}},AC = 5\;{\rm{cm}},BC = 6{\rm{\;cm}}\] (Hình). Tính bán kính \(R\) của miếng bìa ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị centimét).

Để đo khoảng cách từ một điểm \(A\) trên bờ sông đến gốc cây \(C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \(B\) cùng ở trên bờ với \(A\) sao cho từ \(A\) và \(B\) có thể nhìn thấy điểm \(C\). Ta đo được khoảng cách \(AB = 40\;{\rm{m}}\), \(\widehat {CAB} = 45^\circ ,\widehat {CBA} = 70^\circ \). Vậy sau khi đo đạc và tính toán khoảng cách \(AC\) bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Cho tam giác \(ABC\) biết độ dài ba cạnh \(BC,{\rm{ }}CA,{\rm{ }}AB\) lần lượt là \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\)và thỏa mãn hệ thức \(b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{c^2} - {a^2}} \right)\) với \(b \ne c\). Khi đó, \(\widehat {BAC}\) bằng