Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\).

Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC} \).

Theo định lí Pythagore: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)\( = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2 \).

\(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Do đó \(CE = AD = a,CE{\rm{//}}AD\) nên \(ADEC\) là hình bình hành.

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AE} \). Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(ABE\):

\(A{E^2} = A{B^2} + B{E^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 5{a^2} \Rightarrow AE = a\sqrt 5 \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} } \right| = AE = a\sqrt 5 \).