Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất số chấm xuất hiện nhỏ hơn \(4\), biết rằng con xúc xắc xuất hiện mặt lẻ.

Đáp án: \[26,2\].                                                         

Xếp \[8\] quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm \[10\] ngăn chính là bài toán chia kẹo Euler , chia \[8\] chiếc kẹo cho \[10\] người nên có \[n\left( \Omega  \right) = C_{8 + 10 - 1}^{10 - 1} = 24310\].

Coi ngăn không chứa sách, chứa \[1\] quyển sách và ngăn chứa \[2\] quyển sách tương ứng với các số \[0,\;1,\;2\].

Từ đề bài ta có hai trường hợp

Trường hợp 1: Có \[6\] ngăn chứa đúng \[1\] quyển sách, \[1\] ngăn chứa \[2\] quyển sách và \[3\] ngăn không chứa quyển sách.

Xếp \[3\] số \[0\] trước sẽ tạo ra \[4\] khoảng trống , xếp số \[2\] và \[1\] trong \[4\] khoảng trống đó có \[C_4^1\] cách . Khi đó còn \[3\] khoảng trống , chia \[6\] số \[1\] cho \[3\] khoảng trống đó có \[C_{6 + 3 - 1}^{3 - 1}\]. Suy ra trường hợp này có \[C_{6 + 3 - 1}^{3 - 1}.C_4^1 = 112\] cách.

Trường hợp 2: Có \[4\] ngăn chứa đúng \[1\] quyển sách, \[2\] ngăn chứa \[2\] quyển sách và \[4\] ngăn không chứa quyển sách.

Xếp \[4\] số \[0\] trước sẽ tạo ra \[5\] khoảng trống , xếp \[2\] số \[2\] vào \[2\] trong \[5\] khoảng trống đó có \[C_5^2\] cách . Khi đó còn \[3\] khoảng trống , chia \[4\] số \[1\] cho \[3\] khoảng trống đó có \[C_{4 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_6^2\]. Suy ra trường hợp này có \[C_6^2.C_5^2 = 150\] cách.

\[P = \frac{{112 + 150}}{{24310}} = \frac{{131}}{{12155}},\;2431P = 26,2.\]

Đáp án: 1050.

+ Ta có hàm số liên tục theo \(t \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\): \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2100 - 400t,\,0 \le t \le 3\\a{\left( {t - 3} \right)^2} + b,\,t > 3\end{array} \right.\) nên

\(f'\left( {{3^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f'\left( t \right) \Leftrightarrow 2100 - 400.3 = a{\left( {3 - 3} \right)^2} + b \Leftrightarrow b = 900\).

+ Sau 3 giờ 30 phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là \(875\) nên

\(f'\left( {3,5} \right) = 875 \Leftrightarrow a{\left( {3,5 - 3} \right)^2} + 900 = 875 \Leftrightarrow a =  - 100\).

Khi đó ta được \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2100 - 400t,\,0 \le t \le 3\\ - 100{\left( {t - 3} \right)^2} + 900,\,t > 3\end{array} \right.\)

+ Khi khán giả ra về hết thì \(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow  - 100{\left( {t - 3} \right)^2} + 900 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\,(tm)\\t = 0\,(l)\end{array} \right.\).

+ Khán giả trung bình mỗi giờ

\(\overline f  = \frac{1}{6}\left[ {\int\limits_0^3 {\left( {2100 - 400t} \right)dx}  + \int\limits_3^6 {\left( { - 100{{\left( {t - 3} \right)}^2} + 900} \right)dx} } \right] = 1050\).