Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 9\). Toạ độ tâm \(I\) và bán kính \(r\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) là

Đáp án: 2496.

Gọi \(x\) là số nhân viên cần huy động làm ca I và \(y\) là số nhân viên cần huy động làm ca II (\(x,\,y \in {\mathbb{N}^*}).\)

Theo giả thiết ta có hệ bất phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 < x \le 9\\y \ge 2\\x + y \ge 10\\x \ge 1,5y\end{array} \right.\]

Biểu diễn miện nghiệm của hệ bất phương trình ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) trong đó \(A\left( {6;4} \right),\,\,B\left( {8;2} \right),\,\,C\left( {9;2} \right),\,\,D\left( {9;6} \right).\)

Ta có chi phí tiền lương mỗi ngày \(T\left( {x;y} \right) = 256x + 240y\)(nghìn đồng).

Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(T\left( {x;y} \right)\) sẽ đạt tại một trong các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).

Ta có: \(T\left( {9;2} \right) = 2784,\,\,T\left( {6;4} \right) = 2496,\,\,T\left( {8;2} \right) = 2528,\,\,T\left( {9;6} \right) = 3744.\)

Do đó chi phí tiền lương mỗi ngày ít nhất khi huy động 6 nhân viên ca I và 4 nhân viên ca II là: 2496 (nghìn đồng).

Đáp án: 95.

Gắn trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol đi qua 3 điểm \(C,M,N\) là \(y = a{x^2} + bx + c,\quad (a \ne 0)\)

Trục đối xứng của parabol là \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow b =  - 4a\).

Ta có parabol đi qua các điểm \(M(2;8),C(8;0)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{{.2}^2} + 2b + c = 8}\\{a{{.8}^2} + 8b + c = 0}\\{b =  - 4a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b + c = 8}\\{64a + 8b + c = 0}\\{4a + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{2}{9}}\\{b = \frac{8}{9}}\\{c = \frac{{64}}{9}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình của parabol là \(y =  - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9}\).

Ta có \(y(0) =  - \frac{2}{9}{.0^2} + \frac{8}{9}.0 + \frac{{64}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right),C(8;0)\) là \(\frac{x}{8} + \frac{y}{{64/9}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{y}{{64/9}} = 1 - \frac{x}{8} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{x}{8} \cdot \frac{{64}}{9} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x.\)

Suy ra diện tích bể bơi bằng \(\int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9} - \left( {\frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^8 {\left( { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{{16}}{9}x} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{512}}{{27}}.\)

Vậy số tiền cần trả để xây bể bơi là \(5 \cdot \frac{{512}}{{27}} \approx 95\) triệu đồng.