Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ toạ độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng \(M\). Cho biết \(M\) đang nằm trên mặt sân có phương trình \(z = 0\), đồng thời thuộc mặt cầu (S): \({(x - 22)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 13)^2} = 194\) (đơn vị độ dài tính theo mét). Gọi J là hình chiếu tâm I của mặt cầu (S) xuống mặt sân bóng. Khoảng cách từ vị trí \(M\) của quả bóng đến điểm \(J\) là:

Trả lời: 128

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau

Ta có \(A(0;22,5),B(80;22,5),C(40;2,5)\)

Gọi \(S\) là tọa độ đỉnh của parabol chứa đường cong \(AC\) thì \(S\left( {30;0} \right)\)

- Mép miệng (trên):\({y_{{\rm{tr\^e n }}}} = 22,5\).

- Đáy - parabol (đường cong \[AC\]) (\(0 \to 40\)): đỉnh \(S(30;0)\), \({y_1}(x) = \frac{{{{(x - 30)}^2}}}{{40}},0 \le x \le 40.\)

- Đáy - đoạn thẳng \[BC\] \((40 \to 80)\): qua \((40;2,5)\) và \(B(80;22,5)\)\({y_2}(x) = \frac{1}{2}x - 17,5,40 \le x \le 80.\)

Diện tích tiết diện chứa \(A = \int_0^{40} {\left( {22,5 - {y_1}(x)} \right)} dx + \int_{40}^{80} {\left( {22,5 - {y_2}(x)} \right)} dx = \frac{{2000}}{3} + 400 = \frac{{3200}}{3}\)

Thể tích gầu (chiều dài 120 cm): \(V = A \cdot 120 = \frac{{3200}}{3} \cdot 120 = 128000\;c{m^3} = 128{\rm{ l\'i t}}{\rm{. }}\)

Trả lời: 48

Gọi hai số liệu còn lại là \[a\] và \[b\]. Theo đề bài,

Trung bình cộng \(\overline x  = \frac{{2 + 4 + 10 + 12 + 14 + a + b}}{7} = 8 \Rightarrow 42 + a + b = 56 \Rightarrow a + b = 14 \ldots (i){\rm{ }}\)

và phương sai \({s^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} + 4 + 16 + 100 + 144 + 196}}{7} - {8^2} = 16\) \[ \Rightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + 460}}{7} - 64 = 16 \Rightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + 460}}{7} = 80 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 460 = 560 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 100 \ldots (ii)\]

Ta có ${(a+b)}^2=\left(a^2+b^2\right)+2ab\stackrel{\left(i\right),\left(ii\right)}{\to }{14}^2=100+2ab\Rightarrow 196=100+2ab\Rightarrow 2ab=96\Rightarrow ab=48$