Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất \(0,95\) và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất \(0,01\). Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là \(3\% \). Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn, xác suất để đó là thư rác bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời: 0,4

Xét hệ trục toạ độ như hình vẽ, diện tích tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(B\).

Theo giat thiết ta có \(OA = 4,\,\,A\left( {4;0} \right)\). Hình vuông có nửa đường chéo bằng \(4\) nên diện tích hình vuông là \(32\). Diện tích tô màu là \(\frac{{64}}{5}\).

Xét riêng trong tam giác \(OAB\) có diện tích phần tô màu bằng \(\frac{8}{5}\).

Theo giả thiết, diện tích phần tô màu trong tam giác \(OAB\) được tính bởi công thức

\[\int_0^4 {\left| {a{x^3} + b{x^2} - x} \right|dx}  = \frac{8}{5}\]. Từ đó ta có hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}\int_0^4 {\left| {a{x^3} + b{x^2} - x} \right|dx}  = \frac{8}{5}\\64a + 16b - 4 = 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{5}\\b = \frac{{21}}{{20}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{20}}\\b = \frac{9}{{20}}\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Trường hợp \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{5}\\b = \frac{{21}}{{20}}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = 0\] có nghiệm là \(0,\,\,\frac{5}{4},\,\,4\) (đồ thị cắt \(Ox\) trong \(\left( {0;4} \right)\) - loại)

Trường hợp \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{20}}\\b = \frac{9}{{20}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow f\left( x \right) = 0\] có nghiệm \(0,\,\,\,4,\,\,5\) thoả mãn. Vậy, \(a + b = \frac{2}{5} = 0,4\).

Đáp số: 7,38

Gắn tình huống bài toán vào mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ:

Phương trình elip là: \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\].

Có thể xem phần elip nằm phía trên trục  \[Ox\] là đồ thị hàm số: \[y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} ;\left( C \right)\].

Gọi \[{S_1}\] là diện tích phần \[B\]nằm phía trên trục \[Ox\], vậy nó là diện tích của \[\frac{1}{4}\]hình tròn:

\[{S_1} = \frac{1}{4}\pi {.1^2} = \frac{\pi }{4}\left( {{m^2}} \right)\].

Tổng diện tích phần \[B\]và phần \[C\] nằm phía trên trục  \[Ox\] có thể xem là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: \[y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} ;\] trục hoành và hai đường thẳng \[x = 3;x = 5\].

\[{S_2} = \int\limits_3^5 {4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} dx}  \approx 4,47\left( {{m^2}} \right)\].

Diện tích phần \[C\] nằm phía trên trục  \[Ox\]:\[S = {S_2} - {S_1} = 3,69\left( {{m^2}} \right)\].

Diện tích khu vực \[C\] người ta lát gạch. \[2S = 7,38\left( {{m^2}} \right)\].