Thống kê điểm kiểm tra môn Toán cuối học kì I của 20 học sinh lớp 9A như sau:

Lập bảng tần số tương đối cho dãy dữ liệu trên và vẽ biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số tương đối thu được.

a) \(\Delta ACH\) vuông tại H nên \(\Delta ACH\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(1)

\(\Delta ACK\) vuông tại K nên \(\Delta ACK\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(2)

Từ (1) và (2) ta có bốn điểm A, H, K, C thuộc đường tròn đường kính AC. Tâm của đường tròn nay là trung điểm của AC

b) Chứng minh\(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

\(\Delta CHB\) vuông tại H nên \(\widehat {CBH} + \widehat {HCB} = {90^0}\) (3)

\(\Delta CKD\) vuông tại K nên \(\widehat {CDK} + \widehat {DCK} = {90^0}\) (4)

Lại có \(\widehat {CDA} = \widehat {CBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) hay \(\widehat {CDK} = \widehat {CBH}\) (5)

Từ (3),(4) và (5) ta có \(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

Chứng minh \(AI.AD = AH.AB\)

Xét △AIH và △ABD:

• \(∠HAI=∠DAB\) (góc chung)
• \(∠AHI=90°\) (CH ⊥ AB)
• \(∠ADB=90°\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Suy ra: \(△AIH∼△ABD\) (g-g)

\(⇒\frac{AI}{AB}=\frac{AH}{AD}⇒AI⋅AD=AH⋅AB◼\)

suy ra \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AD}}\) nên\(AI.AD = AH.AB\)

c) Kéo dài CP cắt AB tại M

Xét \(\Delta ACM\) có hai đường cao AK và CH cắt nhau tại I nên I là trực tâm của \(\Delta ACM\). Suy ra MI vuông góc với AC

Xét nửa đường tròn(O) có\(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên Bc vuông góc với AC. Do đó MI//BC

Xét\(\Delta CHB\) có \(I \in CH;M \in HB\) mà MI//BC suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (6)

Xét\(\Delta HDB\) có \(P \in HD;M \in HB\) mà MP//BD( cùng vuông góc với AD) suy ra \(\frac{{HD}}{{HP}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HP}}\) nên IP//CD(đpcm)

Gọi x là số đôi giày sản xuất trung bình mỗi tháng (x nguyên dương).

Lợi nhuận trung bình mỗi tháng là:

0,35x – 435 (triệu đồng)

Để lợi nhuận một năm ít nhất là 1,5 tỉ đồng hay 1 500 triệu đồng thì lợi nhuận trung bình một tháng ít nhất là :

\(\frac{{1500}}{{12}} = 125\) ( triệu đồng)

Do đó ta có: 0,35x – 435 \( \ge \)125

Giải bpt, tìm được: x \( \ge \) 1600

Kết luận: Vậy trung bình mỗi tháng cở sở đó phải sản xuất ít nhất 1 600 đôi giày để đạt lợi nhuận ít nhất 1,5 tỉ sau 1 năm.