Một chuyến trượt cáp bắt đầu ở độ cao 30 m so với mặt đất. Chiều dài của cáp là 100 m. Giả sử đường trượt cáp được cố định với mặt đất, hãy tính góc \(ABH\) mà dây cáp tạo với mặt đất. (làm tròn câu trả lời của bạn chính xác đến phút).

a) \(\Delta ACH\) vuông tại H nên \(\Delta ACH\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(1)

\(\Delta ACK\) vuông tại K nên \(\Delta ACK\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(2)

Từ (1) và (2) ta có bốn điểm A, H, K, C thuộc đường tròn đường kính AC. Tâm của đường tròn nay là trung điểm của AC

b) Chứng minh\(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

\(\Delta CHB\) vuông tại H nên \(\widehat {CBH} + \widehat {HCB} = {90^0}\) (3)

\(\Delta CKD\) vuông tại K nên \(\widehat {CDK} + \widehat {DCK} = {90^0}\) (4)

Lại có \(\widehat {CDA} = \widehat {CBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) hay \(\widehat {CDK} = \widehat {CBH}\) (5)

Từ (3),(4) và (5) ta có \(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

Chứng minh \(AI.AD = AH.AB\)

Xét △AIH và △ABD:

• \(∠HAI=∠DAB\) (góc chung)
• \(∠AHI=90°\) (CH ⊥ AB)
• \(∠ADB=90°\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Suy ra: \(△AIH∼△ABD\) (g-g)

\(⇒\frac{AI}{AB}=\frac{AH}{AD}⇒AI⋅AD=AH⋅AB◼\)

suy ra \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AD}}\) nên\(AI.AD = AH.AB\)

c) Kéo dài CP cắt AB tại M

Xét \(\Delta ACM\) có hai đường cao AK và CH cắt nhau tại I nên I là trực tâm của \(\Delta ACM\). Suy ra MI vuông góc với AC

Xét nửa đường tròn(O) có\(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên Bc vuông góc với AC. Do đó MI//BC

Xét\(\Delta CHB\) có \(I \in CH;M \in HB\) mà MI//BC suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (6)

Xét\(\Delta HDB\) có \(P \in HD;M \in HB\) mà MP//BD( cùng vuông góc với AD) suy ra \(\frac{{HD}}{{HP}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HP}}\) nên IP//CD(đpcm)

Gọi x là số học sinh dự thi của trường A, y là số học sinh dự thi của trường B. ( x, y nguyên dương)

Tổng số học sinh dự thi của hai trường là: 435 : 87% = 500 (hs)

Theo đề ta có hpt:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\85\% x + 90\% y = 435\end{array} \right.\)

Giải hệ pt, ta được: x = 300 (thỏa đk); y = 200 ( thỏa đk)

Kết luận: Vậy số hs dự thi của trường A là : 300 hs, của trường B là 200 hs