Vẽ đồ thị hàm số \(\)\(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) trên mặt phẳng toạ độ và tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ khác điểm O(0;0)

a) \(\Delta ACH\) vuông tại H nên \(\Delta ACH\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(1)

\(\Delta ACK\) vuông tại K nên \(\Delta ACK\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(2)

Từ (1) và (2) ta có bốn điểm A, H, K, C thuộc đường tròn đường kính AC. Tâm của đường tròn nay là trung điểm của AC

b) Chứng minh\(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

\(\Delta CHB\) vuông tại H nên \(\widehat {CBH} + \widehat {HCB} = {90^0}\) (3)

\(\Delta CKD\) vuông tại K nên \(\widehat {CDK} + \widehat {DCK} = {90^0}\) (4)

Lại có \(\widehat {CDA} = \widehat {CBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) hay \(\widehat {CDK} = \widehat {CBH}\) (5)

Từ (3),(4) và (5) ta có \(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

Chứng minh \(AI.AD = AH.AB\)

Xét △AIH và △ABD:

• \(∠HAI=∠DAB\) (góc chung)
• \(∠AHI=90°\) (CH ⊥ AB)
• \(∠ADB=90°\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Suy ra: \(△AIH∼△ABD\) (g-g)

\(⇒\frac{AI}{AB}=\frac{AH}{AD}⇒AI⋅AD=AH⋅AB◼\)

suy ra \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AD}}\) nên\(AI.AD = AH.AB\)

c) Kéo dài CP cắt AB tại M

Xét \(\Delta ACM\) có hai đường cao AK và CH cắt nhau tại I nên I là trực tâm của \(\Delta ACM\). Suy ra MI vuông góc với AC

Xét nửa đường tròn(O) có\(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên Bc vuông góc với AC. Do đó MI//BC

Xét\(\Delta CHB\) có \(I \in CH;M \in HB\) mà MI//BC suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (6)

Xét\(\Delta HDB\) có \(P \in HD;M \in HB\) mà MP//BD( cùng vuông góc với AD) suy ra \(\frac{{HD}}{{HP}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HP}}\) nên IP//CD(đpcm)

Gọi x là số học sinh dự thi của trường A, y là số học sinh dự thi của trường B. ( x, y nguyên dương)

Tổng số học sinh dự thi của hai trường là: 435 : 87% = 500 (hs)

Theo đề ta có hpt:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\85\% x + 90\% y = 435\end{array} \right.\)

Giải hệ pt, ta được: x = 300 (thỏa đk); y = 200 ( thỏa đk)

Kết luận: Vậy số hs dự thi của trường A là : 300 hs, của trường B là 200 hs