Giải phương trình \({x^2} - x - 1 = 0\,\,\,\,\,\). Gọi \({x_1};{x_2}\)là hai nghiệm phương trình đã cho không giải phương trình, tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{x_1^2 + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \frac{{x_2^2 + {x_2} - 1}}{{{x_2}}}\).

a) \(\Delta ACH\) vuông tại H nên \(\Delta ACH\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(1)

\(\Delta ACK\) vuông tại K nên \(\Delta ACK\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(2)

Từ (1) và (2) ta có bốn điểm A, H, K, C thuộc đường tròn đường kính AC. Tâm của đường tròn nay là trung điểm của AC

b) Chứng minh\(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

\(\Delta CHB\) vuông tại H nên \(\widehat {CBH} + \widehat {HCB} = {90^0}\) (3)

\(\Delta CKD\) vuông tại K nên \(\widehat {CDK} + \widehat {DCK} = {90^0}\) (4)

Lại có \(\widehat {CDA} = \widehat {CBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) hay \(\widehat {CDK} = \widehat {CBH}\) (5)

Từ (3),(4) và (5) ta có \(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

Chứng minh \(AI.AD = AH.AB\)

Xét △AIH và △ABD:

• \(∠HAI=∠DAB\) (góc chung)
• \(∠AHI=90°\) (CH ⊥ AB)
• \(∠ADB=90°\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Suy ra: \(△AIH∼△ABD\) (g-g)

\(⇒\frac{AI}{AB}=\frac{AH}{AD}⇒AI⋅AD=AH⋅AB◼\)

suy ra \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AD}}\) nên\(AI.AD = AH.AB\)

c) Kéo dài CP cắt AB tại M

Xét \(\Delta ACM\) có hai đường cao AK và CH cắt nhau tại I nên I là trực tâm của \(\Delta ACM\). Suy ra MI vuông góc với AC

Xét nửa đường tròn(O) có\(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên Bc vuông góc với AC. Do đó MI//BC

Xét\(\Delta CHB\) có \(I \in CH;M \in HB\) mà MI//BC suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (6)

Xét\(\Delta HDB\) có \(P \in HD;M \in HB\) mà MP//BD( cùng vuông góc với AD) suy ra \(\frac{{HD}}{{HP}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HP}}\) nên IP//CD(đpcm)

Gọi x là số đôi giày sản xuất trung bình mỗi tháng (x nguyên dương).

Lợi nhuận trung bình mỗi tháng là:

0,35x – 435 (triệu đồng)

Để lợi nhuận một năm ít nhất là 1,5 tỉ đồng hay 1 500 triệu đồng thì lợi nhuận trung bình một tháng ít nhất là :

\(\frac{{1500}}{{12}} = 125\) ( triệu đồng)

Do đó ta có: 0,35x – 435 \( \ge \)125

Giải bpt, tìm được: x \( \ge \) 1600

Kết luận: Vậy trung bình mỗi tháng cở sở đó phải sản xuất ít nhất 1 600 đôi giày để đạt lợi nhuận ít nhất 1,5 tỉ sau 1 năm.