Một cơ sở sản xuất giày da với tổng chi phí 435 triệu đồng mỗi tháng. Giá bán của một đôi giày là 350 nghìn đồng. Hỏi cần phải sản xuất trung bình bao nhiêu đôi giày mỗi tháng để sau một năm cơ sở đó thu được lợi nhuận ít nhất là 1,5 tỉ đồng ( một tỉ năm trăm triệu đồng).

a) \(\Delta ACH\) vuông tại H nên \(\Delta ACH\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(1)

\(\Delta ACK\) vuông tại K nên \(\Delta ACK\) nội tiếp đường tròn đường kính AC(2)

Từ (1) và (2) ta có bốn điểm A, H, K, C thuộc đường tròn đường kính AC. Tâm của đường tròn nay là trung điểm của AC

b) Chứng minh\(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

\(\Delta CHB\) vuông tại H nên \(\widehat {CBH} + \widehat {HCB} = {90^0}\) (3)

\(\Delta CKD\) vuông tại K nên \(\widehat {CDK} + \widehat {DCK} = {90^0}\) (4)

Lại có \(\widehat {CDA} = \widehat {CBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) hay \(\widehat {CDK} = \widehat {CBH}\) (5)

Từ (3),(4) và (5) ta có \(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

Chứng minh \(AI.AD = AH.AB\)

Xét △AIH và △ABD:

• \(∠HAI=∠DAB\) (góc chung)
• \(∠AHI=90°\) (CH ⊥ AB)
• \(∠ADB=90°\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Suy ra: \(△AIH∼△ABD\) (g-g)

\(⇒\frac{AI}{AB}=\frac{AH}{AD}⇒AI⋅AD=AH⋅AB◼\)

suy ra \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AD}}\) nên\(AI.AD = AH.AB\)

c) Kéo dài CP cắt AB tại M

Xét \(\Delta ACM\) có hai đường cao AK và CH cắt nhau tại I nên I là trực tâm của \(\Delta ACM\). Suy ra MI vuông góc với AC

Xét nửa đường tròn(O) có\(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên Bc vuông góc với AC. Do đó MI//BC

Xét\(\Delta CHB\) có \(I \in CH;M \in HB\) mà MI//BC suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (6)

Xét\(\Delta HDB\) có \(P \in HD;M \in HB\) mà MP//BD( cùng vuông góc với AD) suy ra \(\frac{{HD}}{{HP}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (định lý Thales) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HP}}\) nên IP//CD(đpcm)

Gọi x là số học sinh dự thi của trường A, y là số học sinh dự thi của trường B. ( x, y nguyên dương)

Tổng số học sinh dự thi của hai trường là: 435 : 87% = 500 (hs)

Theo đề ta có hpt:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\85\% x + 90\% y = 435\end{array} \right.\)

Giải hệ pt, ta được: x = 300 (thỏa đk); y = 200 ( thỏa đk)

Kết luận: Vậy số hs dự thi của trường A là : 300 hs, của trường B là 200 hs