Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 4} \right)\). Những phương án nào dưới đây đúng?    

1. Sai. Vì tập xác định là \(D = \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\).

2. Đúng. Vì \(f'\left( x \right) =  - \frac{3}{{\left( {3x + 4} \right)\ln 2}} < 0\,\,\forall x \in \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\) nên \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(D = \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\).

3. Đúng. Vì \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) =  - 1 - {\log _2}5\) .

4. Đúng. Xét \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2} - \frac{7}{2}x + 2\)

 Ta có \(g'\left( x \right) =  - \frac{3}{{\left( {3x + 4} \right)\ln 2}} + 2x - \frac{7}{2},\,\,\,g''\left( x \right) = \frac{9}{{{{\left( {3x + 4} \right)}^2}\ln 2}} + 2 > 0\,\,\forall x \in \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\) .

Suy ra \(g'\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\). Do đó \(g'\left( x \right) = 0\) có tối đa 1 nghiệm.

Vì \(g'\left( 0 \right) < 0,\,\,g'\left( 4 \right) > 0\) nên \(g'\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm.

Suy ra \(g'\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = {x_0}\) .

Từ bảng biến thiên suy ra \(g\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất 2 nghiệm và tìm được 2 nghiệm là \(x = 0,\,\,x = 4\).

Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình  \(f\left( x \right) <  - {x^2} + \frac{7}{2}x - 2\) là \(\left( {0;4} \right)\).

5. Sai. \(f\left( x \right) + {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 4} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = {\log _2}\left( {3x + 4} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - \frac{4}{3}\\{x^2} - 2x + m = 3x + 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - \frac{4}{3}\\m =  - {x^2} + 5x + 4\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 5x + 4\).

Ta có \(g'\left( x \right) =  - 2x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\).

Ta có bảng biến thiên hàm số \(y = g\left( x \right)\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(8 < m < \frac{{41}}{4}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {9;10} \right\}\).

Do đó tổng các giá trị là 19. Chọn 2, 3, 4.